Question

[Trần Quốc Tuấn hi]

Cho a,b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình \(a\left(a-x\right)^2+b\left(x-b\right)^2=0\) có nghiệm duy nhất

Chứng minh \(\left|a\right|=\left|b\right|\)

Answer 1

[‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍...]

a(a−x)²+b(b−x)²            (1)

=(a+b)x²−2x(a²+b²)+a³+b³

+) a+b=0⇒pt(1)có một nghiệm⇒|a|=|b|

+) a+b≠0

Xét Δ'=a⁴+2a²b²+b⁴−a⁴−ab³−a³b−b⁴

=2a²b²−ab³−a3b=ab(a−b)²

PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : Δ'=0⇒a−b=0⇒|a|=|b|

Answer 2

[Kudo Shinichi]

Thực hiện khai triển , PT đã cho tương đương với 

\(\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+\left(a^3+b^3\right)=0\left(^∗\right)\)

Nếu \(a+b=0\) thì

\(a^2+b^2\ne0\) với mọi a , b \(\ne0\) . PT (*) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2\left(a^2+b^2\right)}\) ( thỏa mãn yêu cầu )

\(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(1\right)\)

Nếu \(a+b\ne0\)

PT (*) là PT bậc 2 ẩn x có nghiệm duy nhất khi mà 

\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2b^2-ab^3-a^3b=0\)

\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)

Vì \(a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Chúc bạn học tốt !!!