Question

[Lê Đình Đạt]

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c. Độ dài 3 đường trung tuyến ứng với các cạnh là ma;mb;mc.Chứng minh:3/4(a+b+c)<ma+mb+mc<a+b+c

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Huy]

Bạn tham khảo nhé!

-Áp dụng BĐT trong tam giác ta có:

AG+BG>AB;BG+CG>BC;CG+AG>CA

-Cộng các vế với nhau ta được:

2(AG+BG+CG)>AB+AC+BC

⇒2.2/3(AE+BF+CD)>AB+AC+BC

⇒AE+BF+CD>3/4 AB+AC+BC

Answer 2

[Đoàn Đức Hà]

Gọi ba trung tuyến lần lượt là \(AM,BN,CK\). Chúng cắt nhau tại điểm \(G\).

- Chứng minh \(\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)< m_a+m_b+m_c\).

Xét tam giác \(ABG\)có: 

\(AB< AG+BG\)(theo bất đẳng thức tam giác)

Tương tự ta cũng có: \(AC< AG+CG,BC< BG+CG\).

Suy ra \(AB+AC+BC< 2\left(AG+BG+CG\right)=2.\frac{2}{3}\left(AM+BN+CK\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)< m_a+m_b+m_c\).

- Chứng minh: \(m_a+m_b+m_c< a+b+c\).

Dựng hình bình hành \(ABA'C\).

Xét tam giác \(ABA'\): 

\(AA'< AB+BK\Leftrightarrow2AM< AB+AC\)(theo bất đẳng thức tam giác) 

Tương tự ta cũng có: \(2BN< BA+BC,2CK< CA+CB\)

Suy ra \(2\left(AM+BN+CK\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\)

\(\Leftrightarrow m_a+m_b+m_c< a+b+c\).

Ta suy ra đpcm.