Question

[Trần Việt Khoa]

Tìm x, y, z nguyên sao cho 2^x.3^y = 1 + 5^z

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

TH1: Trong 3 số $x,y,z$ tồn tại $1$ số âm còn 2 số còn lại không âm thì vô lý vì sẽ có 1 vế không nguyên.

TH2: Trong 3 số $x,y,z$ tồn tại $2$ số âm và 1 số không âm.

Hiển nhiên 2 số âm không thể là $x,y$ vì $2^x.3^y=1+5^z>1$

- Nếu $x,z$ cùng âm. Đặt $-x=a; -z=b$ thì $a,b$ nguyên dương.

PT $\Leftrightarrow 3^y.5^b=2^a(5^b+1)$ (vô lý vì 1 vế chia hết cho 5 còn 1 vế thì không)

- Nếu $y,z$ cùng âm thì tương tự vậy (vô lý)

TH3: $x,y,z$ đều âm. Đặt $-x=m; -y=n; -z=p$ với $m,n,p$ nguyên dương.

PT $5^p=2^m.3^n(5^p+1)$ (vô lý)

TH4: $x,y,z$ đều không âm. 

$2^x.3^y=1+5^z\equiv 2\pmod 4$

$\Rightarrow x=1$

PT trở thành: $2.3^y=1+5^z$

Nếu $y=0$ thì $z=0$. Ta có bộ $(1,0,0)$

Nếu $y>0$ thì $1+5^z\equiv 1+(-1)^z\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow z$ lẻ 

$z=1$ thì $y=1$. Ta có bộ $(1,1,1)$

$z>1$ thì hiển nhiên $y>1$

$2.3^y=5^z+1=6(5^{z-1}+....+5^0)$

$\Rightarrow 3^{y-1}=5^{z-1}+...+5^0\equiv (-1)^{z-1}+...+(-1)^0\equiv 1\pmod 3$ (vô lý vì $y-1>0$)

Vậy.........