Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi
Ta có x,y,z là các số thực dương
Khi đó : \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0.\)
\(\Leftrightarrow5\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}+\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}-\frac{9x}{y+z}-\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-\frac{9x}{y+z}=\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}-\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{18\left(y+z\right)^2}{4}}{\left(y+z\right)^2}-\frac{\frac{5\left(y+z\right)^2}{2}}{\left(y+z\right)^2}=\frac{18}{4}-\frac{5}{2}=2.\)
\(\Rightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}\le2.\)
Đặt \(\frac{x}{y+z}=a>0\)ta được \(5a^2-9a-2\le0\)
\(\Leftrightarrow5a^2-10a+a-2\le0\Leftrightarrow\left(5a+1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Dễ thấy \(5a+1>0\)\(\Rightarrow a-2\le0\Leftrightarrow a\le2\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2.\)
Ta có: \(Q=\frac{2x-y-z}{y+z}=\frac{2x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=z\\\frac{x}{y+z}=2\end{cases}\Leftrightarrow x=4y=4z}\)
Vậy Giá trị lớn nhất của \(Q=3\Leftrightarrow x=4y=4z.\)
\(x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge2+2+2=6\)(BDT cô-si)
Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1 rồi thay vào tính dc P=3
\(x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}-2\right)+\left(z^2+\frac{1}{z^2}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2+\left(z-\frac{1}{z}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\\z-\frac{1}{z}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\\y^2=1\\z^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm1\\z=\pm1\end{cases}}\)
=> \(P=x^{28}+y^{10}+z^{2017}=1+1+z^{2017}=2+z^{2017}\)
Với \(z=-1\Rightarrow P=1+1-1=1\)
Với \(z=1\Rightarrow P=1+1+1=3\)
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm
vì \(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(2P=2\left(xy+xz+yz\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2-2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\)
\(2P-2=-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2-\left(y-z\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(2P-2=\left(x^2-1\right)\left(y-z\right)^2+\left(y^2-1\right)\left(x-z\right)^2+\left(z^2-1\right)\left(x-y\right)^2\le0\)
\(2P-2\le0\)
\(2P\le2\)
\(P\le1\)
GTLN P là 1 khi x=y=z=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
tth_new_dep_trai_lai_lang_solo_SOS_Ji_Chen_tuoi_tom nhờ mình đăng hộ nha!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(x^5+\frac{1}{x}+1+1\ge4\sqrt[4]{x^5.\frac{1}{x}}=4x\)
Chứng minh tương tự: \(y^5+\frac{1}{y}+1+1\ge4\sqrt[4]{y^5.\frac{1}{y}}=4y\)
\(z^5+\frac{1}{z}+1+1\ge4\sqrt[4]{z^5.\frac{1}{z}}=4z\)
\(\Rightarrow T+6\ge4\left(x+y+z\right)=12\)
\(\Leftrightarrow T\ge6\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1