Question

[Duong Thi Nhuong]

Tìm \(x,y\in\) N* : \(xy^2+2xy+x=32y\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
\(xy^2+2xy+x=32y\)

\(\Leftrightarrow x(y^2+2y+1)=32y\)

\(\Leftrightarrow x(y+1)^2=32y\Rightarrow x=\frac{32y}{(y+1)^2}\)

Ta thấy \((y+1)^2-4y=(y-1)^2\geq 0\Rightarrow (y+1)^2\geq 4y\)

\(\Rightarrow x=\frac{32y}{(y+1)^2}\leq \frac{32y}{4y}=8\)

Từ đây ta xét các TH:

+) Nếu $x$ chẵn thì \(x\in\left\{2;4;6;8\right\}\)

Thử từng giá trị của $x$ ta thu được \((x,y)=(6,3); (8,1)\)

+) Nếu $x$ lẻ thì vì \(x(y+1)^2=32y\vdots 32\Rightarrow (y+1)^2\vdots 32\)

\(y+1\vdots 8\)

\(\Rightarrow 32y=x(y+1)^2\vdots 64\Rightarrow y\vdots 2\) (vô lý vì $y+1$ chẵn thì $y$ phải lẻ)

Vậy $(x,y)=(6,3), (8,1)$