Câu hỏi của Pham Van Hung

Question

tìm $n\in N$ để $2^4+2^7+2^n$ là số chính phương

I - Vy Nguyễn · Accepted Answer

Đặt $2^4+2^7+2^n=a^2$ (a $\in$ N)

$\iff$ $\left(2^4+2^7\right)+2^n=a^2$

$\iff$$2^4.\left(1+2^3\right)+2^n=a^2$

$\iff$$2^4.3^2+2^n=a^2$

$\iff$$\left(2^2.3\right)^2+2^n=a^2$

$\iff$ $12^2+2^n=a^2$

$\iff$$2^n=a^2-12^2$

$\iff$$2^n=\left(a-12\right).\left(a+12\right)$

Đặt $a-12=2^q\left(2\right)$ $;a+12=2^p\left(1\right)$

Gỉa sử :p>q ,p,q $\in$ N

Lấy (1)-(2) vế với vế ta được $24=2^p-2^q$

$2^3.3=2^q.\left(2^{p-q}-1\right)$

$\implies$ $\hept{\begin{cases}2^3=2^q\3=2^{p-q}-1\end{cases}}$ $\implies$ $\hept{\begin{cases}q=3\2^2=2^{p-q}\end{cases}}$ $\implies$ $\hept{\begin{cases}q=3\p-q=2\end{cases}}$ $\implies$$\hept{\begin{cases}q=3\p=5\end{cases}}$

$\implies$ $n=p+q=3+5=8$

Với n=8 thì $2^4+2^7+2^n=2^4+2^7+2^8=16+128+256=400=20^2$ là số chính phương thỏa mãn ycbt

Vậy n=8

Câu trả lời: