Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vì 1 < a => 1 + a < 2a
b < c => b + c > 2b
theo giả thiết 1 < a < b + c < a + 1
=> 2b < 2a
=> b < a
Ta có \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)
Ta lại có bất đẳng thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
Áp dụng ta có \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Vậy \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Ta có aa+b+bb+c+cc+a>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1⇔aa+b+bb+c+cc+a>1aa+b+bb+c+cc+a>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1⇔aa+b+bb+c+cc+a>1
Ta lại có bất đẳng thức ab<a+cb+cab<a+cb+c
Áp dụng ta có aa+b+bb+c+cc+a<a+ca+b+c+b+aa+b+c+c+ba+b+c=2(a+b+c)a+b+c=2⇔aa+b+bb+c+cc+a<2aa+b+bb+c+cc+a<a+ca+b+c+b+aa+b+c+c+ba+b+c=2(a+b+c)a+b+c=2⇔aa+b+bb+c+cc+a<2
Vậy 1<aa+b+bb+c+cc+a<2
Cho \(a< b< c\)là ba nghiệm của phương trình \(x^3-3x+1=0\). Chứng minh rằng:
\(a^2-c=b^2-a=c^2-b=2\)
Ta có: \(a< b\Rightarrow2a< a+b\) (Cộng thêm hai vế với a)
\(c< d\Rightarrow2c< c+d\) (Cộng thêm hai vế cho c)
\(m< n\Rightarrow2m< m+n\) (Cộng thêm hai vế cho m)
Suy ra: \(2a+2c+2m=2\left(a+c+m\right)< \left(a+b+c+d+m+n\right)\)
Vì vậy: \(\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\)
Ta có a<b=>2a<a+b (1)
c<d=>2c<c+d (2)
m<n=>2m<m+n (3)
Cộng (1),(2),(3);vế theo vế ta được
2a+2c+2m<a+b+c+d+m+n
=> 2(a+c+m) <1
a+b+c+d+m+n
=> a+c+m < 1
a+b+c+d+m+n 2
vì 0 \(\le\)|a|,|b| < 1 nên a2 < 1 ; b2 < 1
\(\Rightarrow\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)>0\Rightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+1>a^2+b^2\Leftrightarrow a^2b^2+2ab+1>a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+1\right)^2>\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left|ab+1\right|>\left|a+b\right|\)
Cho \(\frac{1}{3}\)<=a,b,c<=1.CMR 0,5<=\(\frac{a}{1+bc}\)+\(\frac{b}{1+ac}\)+\(\frac{c}{1+ab}\)<=1,9
a,Nếu a<b thì a-b<0,=>\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right).\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)Hằng đẳng thức.
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>0\)với a,b khác nhau \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< 0\left(ĐPCM\right)\)
b,Nếu \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)thì \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)<0,=>(a-b).(a+b)<0 Hằng đẳng thức.
(a+b)>0 với a,b khác nhau (a-b)<0\(\left(ĐPCM\right)\)
Lời giải:
Ta thấy:
$1< a$ nên $b+c< a+1< a+a$ hay $b+c< 2a(1)$
Mặt khác:
$b< c$ nên $2b< b+c(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 2b< 2a\Rightarrow b< a$
Ta có đpcm.