Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 : đề bài này chỉ cần a,b>0 , ko cần phải thuộc N* đâu
a, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số lhoong âm a,b ta được :
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\) . Dấu "=" xảy ra khi a=b
b , Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm ta được : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân vế với vế ta được :
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2.2.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=4\left(đpcm\right)\)
Dấu "="xảy ra tại a=b
Bài 1.
Vì a, b, c, d \(\in\) N*, ta có:
\(\dfrac{a}{a+b+c+d}< \dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}\)
\(\dfrac{b}{a+b+c+d}< \dfrac{b}{a+b+d}< \dfrac{b}{a+b}\)
\(\dfrac{c}{a+b+c+d}< \dfrac{c}{b+c+d}< \dfrac{c}{c+d}\)
\(\dfrac{d}{a+b+c+d}< \dfrac{d}{a+c+d}< \dfrac{d}{c+d}\)
Do đó \(\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}< M< \left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)+\left(\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c+d}\right)\)hay 1<M<2.
Vậy M không có giá trị là số nguyên.
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc\)
Ta có:
Nếu:
\(\dfrac{2a+c}{2b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\Leftrightarrow\left(2a+c\right)\left(b-d\right)=\left(a-c\right)\left(2b+d\right)\)
\(\Leftrightarrow2a\left(b-d\right)+c\left(b-d\right)=a\left(2b+d\right)-c\left(2b+d\right)\)
\(\Leftrightarrow2ab-2ad+bc-cd=2ab+ad-2bc+cd\)
\(\Leftrightarrow ad=bc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a+c}{2b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\left(đpcm\right)\)
a: \(VT=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{1}{a}\)=VP
b: \(VP=\dfrac{a+1-a}{a\left(a+1\right)}=\dfrac{1}{a\left(a+1\right)}=VP\)
Đề bài :
a) dãy các phân số trên có phải theo quy luật ko ?
b) tính tổng các phân số của dãy trên
1) \(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{49.50}\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{50}\)
\(=1-\dfrac{1}{50}\)
\(=\dfrac{49}{50}\)
2) \(\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+\dfrac{2}{7.9}+...+\dfrac{2}{37.39}\)
\(=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{37}-\dfrac{1}{39}\)
\(=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{39}\)
\(=\dfrac{13}{39}-\dfrac{1}{39}=\dfrac{12}{39}=\dfrac{4}{13}\)
3) \(\dfrac{3}{4.7}+\dfrac{3}{7.10}+\dfrac{3}{10.13}+...+\dfrac{3}{73.76}\)
\(=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{13}+...+\dfrac{1}{73}-\dfrac{1}{76}\)
\(=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{76}\)
\(=\dfrac{19}{76}-\dfrac{1}{76}=\dfrac{18}{76}=\dfrac{9}{38}\)
1)
\(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{49.50}\\ =\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{50}\\ =1-\dfrac{1}{50}\\ =\dfrac{49}{50}\)
2)
\(\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+\dfrac{2}{7.9}+...+\dfrac{2}{37.39}\\ =\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{37}-\dfrac{1}{39}\\ =\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{39}\\ =\dfrac{13}{39}-\dfrac{1}{39}\\ =\dfrac{12}{39}=\dfrac{4}{13}\)
3) \(\dfrac{3}{4.7}+\dfrac{3}{7.10}+\dfrac{3}{10.13}+...+\dfrac{3}{73.76}\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{73}-\dfrac{1}{79}\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{79}\\ =\dfrac{75}{316}\)
Vai trò a,b,c như nhau giả sử a < b < c
Mà a, b, c là các số nguyên tố khác nhau đôi một
=> \(a\ge2\), \(b\ge3\), \(c\ge5\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\left[a,b\right]}=\dfrac{1}{ab}\le\dfrac{1}{2.3}\le\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{\left[b,c\right]}=\dfrac{1}{bc}\le\dfrac{1}{3.5}\le\dfrac{1}{15}\\\dfrac{1}{\left[c,a\right]}=\dfrac{1}{ac}\le\dfrac{1}{2.5}\le\dfrac{1}{10}\end{matrix}\right.\)
=> \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{\left[c,a\right]}\le\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}\)
=> \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{\left[c,a\right]}\le\dfrac{1}{3}\)
=> đpcm
< 1
\(\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a}{a+b+c}\)
\(\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(đpcm\right)\)
Vậy...