Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trong ba điều kiện cho trên thì ta có 1 số 1 còn 2 số kia =0 từ đó khẳng định a^2009+b^2009+c^2009=1
Mình cần chứng minh ra nó gồm 1 số =1 và 2 số =0 mà bạn =)))))))
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a^{2008}\ge0\\b^{2008}\ge0\\c^{2008}\ge0\\a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^{2008}\le1\\b^{2008}\le1\\c^{2008}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|\le1\\\left|b\right|\le1\\\left|c\right|\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}\le a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}\)
\(\Rightarrow a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Khi đó \(a^{2007}+b^{2008}+c^{2009}+2020=1+2020=2021\)
\(bdt\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc-\frac{\left(a+b\right)^2}{26}-\frac{\left(b-c\right)^2}{6}-\frac{\left(c-a\right)^2}{2009}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]-\frac{\left(a+b\right)^2}{26}-\frac{\left(b-c\right)^2}{6}-\frac{\left(c-a\right)^2}{2009}\ge0\)
Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\) nên
\(bdt\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{x^2}{26}-\frac{y^2}{6}-\frac{z^2}{2009}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{26}\right)+\left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^2}{6}\right)+\left(\frac{z^2}{2}-\frac{z^2}{2009}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{6x^2}{13}+\frac{y^2}{3}+\frac{2007z^2}{4018}\ge0\)(luôn đúng \(\forall x;y;z\))
Vậy BTĐ đã được chứng minh
2a² + b²/4 + 1/a² = 4
⇔ 8a⁴ + a²b² + 4 = 16a²
⇔ a²b² = -8a⁴ + 16a² - 4
⇔ a²b² = -8(a⁴ - 2a² + 1) + 4
⇔ a²b² = -8(a² - 1)² + 4 ≤ 4
⇔ │ab│ ≤ 2
⇔ -2 ≤ ab ≤ 2
--> A = ab + 2011 ≥ 2009
Dấu " = " xảy ra ⇔
{ a² - 1 = 0 . . . --> { a = 1 . . . . . { a = -1
{ ab = -2 . . . . . . . { b = -2 hoặc .{ b = 2
\(\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=-2009\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=-\dfrac{2009}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=\dfrac{4036081}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=\dfrac{4036081}{4}\)
\(a^2+b^2+c^2=2009\)
nên \(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)=4036081\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=\dfrac{4036081}{2}\)
\(\left(a+b+c\right)^2=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-2009\)
\(2009^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)\)\(=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)(1)
\(2009^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(a^4+b^4+c^4=2009^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\) (2)
(1)(2) =>\(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=\frac{2009^2}{2}\)
Ta có :
\(a+b+c=2009\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2009}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{\left(a+b+c\right)-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{c^2+ab+bc+ca}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{array}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=2009\\b=2009\\c=2009\end{array}\right.\)
(+) a = 2009
=> P = 0
(+) b = 2009
=> P = 0
(+) c = 2009
=> P = 0
Vậy P = 0
a+ b + c=2009 mà. Sao kết quả a=2009: b=2009 và c cùng = 2009