K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 10 2016

Gợi ý cho bạn :

Đặt \(x=a+b\)\(y=b+c\) , \(z=c+d\) , \(t=d+e\)\(u=e+a\),

Ta có \(a=\frac{x+u-t+z-y}{2}\)\(b=\frac{x+y+t-z-u}{2}\)\(c=\frac{y+z+u-t-x}{2}\)\(d=\frac{z+t+x-y-u}{2}\)\(e=\frac{t+u+y-x-z}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\)

\(=\frac{x+u+z-t-y}{2y}+\frac{x+y+t-z-u}{2z}+\frac{y+z+u-t-x}{2t}+\frac{z+t+x-y-u}{2u}+\frac{t+u+y-x-z}{2x}\)

Đến đây nhóm lại rồi áp dụng BĐT Cauchy.

16 tháng 9 2017

Vì a:b:c là độ dài  cạnh tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\)(1)

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{a+b-c+c+a-b}{2}=\frac{2a}{2}=a\)(2)

\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{b+c-a+c+a-b}{2}=\frac{2c}{2}=c\)(3)

Nhân vế với vế của (1); (2);(3) lại ta được :

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2}\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)(đpcm)

20 tháng 5 2021

No description available.

đây nhá bạn

5 tháng 10 2020

Ta có : \(a^2+2b+3=a^2+1+2b+2\ge2a+2b+2=2\left(a+c+1\right)\)

\(b^2+2c+3=b^2+1+2c+2\ge2b+2c+2=2\left(b+c+1\right)\)

\(c^2+2a+3=c^2+1+2a+2\ge2c+2a+2=2\left(c+a+1\right)\)

Suy ra \(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{a}{2\left(a+b+1\right)}+\frac{b}{2\left(b+c+1\right)}+\frac{c}{2\left(c+a+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)\)

Tương đương \(\frac{3}{2}-\frac{a}{a^2+2b+3}-\frac{b}{b^2+2c+3}-\frac{c}{c^2+2a+3}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\right)\)

Đặt \(M=\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được : \(M=\frac{\left(b+1\right)^2}{\left(b+1\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)}\)

Do \(\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+\left(c+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+1\right)\left(c+a+1\right)=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+3\)\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2\)

Từ đó \(M\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2}=2\Rightarrow\frac{3}{2}-\frac{a}{a^2+2b+3}-\frac{b}{b^2+2c+3}-\frac{c}{c^2+2a+3}\ge\frac{1}{2}.2=1\)

\(< =>\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Bài toán hoàn tất . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
12 tháng 8 2023

\(a_1,\sqrt{x}< 7\\ \Rightarrow x< 49\\ a_2,\sqrt{2x}< 6\\ \Rightarrow x< 18\\ a_3,\sqrt{4x}\ge4\\ \Rightarrow4x\ge16\\ \Rightarrow x\ge4\\ a_4,\sqrt{x}< \sqrt{6}\\ \Rightarrow x< 6\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
12 tháng 8 2023

\(b_1,\sqrt{x}>4\\ \Rightarrow x>16\\ b_2,\sqrt{2x}\le2\\ \Rightarrow2x\le4\\ \Rightarrow x\le2\\ b_3,\sqrt{3x}\le\sqrt{9}\\ \Rightarrow3x\le9\\ \Rightarrow x\le3\\ b_4,\sqrt{7x}\le\sqrt{35}\\ \Rightarrow7x\le35\\ \Rightarrow x\le5\)

24 tháng 3 2020

Với \(a,b>0\)

Ta có theo BĐT Cô-si:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\) hay \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\))

Vậy \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với \(a,b>0\).