K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KC
1
22 tháng 10 2019
Câu hỏi của Viet Anh Dang - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham đề và bài làm tại link trên nhé!
HN
1
VD
2 tháng 1 2017
Từ 1/a + 1/b + 1/c = 2 bình phương 2 vế ta có
( 1/a + 1/b + 1/c )^2 = 4
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2( 1/ab + 1/bc + 1/ac ) = 4
1/a^2 + 2/b^2 + 1/c^2 + 2(a +b +c)abc = 4 ( quy đồng MTC là abc)
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^ + 2abc. abc = 4( vì a+b+c = abc)
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 +2 =4
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 2 ( đpcm)
VA
1
13 tháng 2 2016
Ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2<=>\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(<=>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=4\)
\(<=>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=4\) Mà a+b+c=abc nên
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4<=>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\left(đpcm\right)\)
25 tháng 1 2020
a,
Đặt: \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=x\\\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=y\\\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=z\end{cases}}\)
a, Ta chứng minh \(x+y+z>1\)hay \(x+y+z-1>0\left(1\right)\)
Ta có BĐT \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+1\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)>0\left(2\right)\)
Ta có: \(x+1=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+1=\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}\)
Và: \(y-1=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}-1=\frac{\left(b-c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2bc}\)
Và: \(z-1=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}-1=\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ac}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ac}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\frac{c\left(a+b+c\right)+a\left(b-c-a\right)-b\left(c-a+b\right)}{2abc}\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]>0\left(abc>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)>0\)
BĐT cuối đúng vì \(a,b,c\)thỏa mãn \(BĐT\Delta\left(đpcm\right)\)
b, Để \(A=1\Leftrightarrow\left(z+1\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)=0\)
Từ trên ta suy ra được 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: \(a+b-c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-1=0\\z-1=0\end{cases}}\hept{\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\y=-1\\z=1\end{cases}}\)
- Trường hợp 2:\(a-b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2ab}=0\\y-1=0\\z+1=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=-1\end{cases}}\)
- Trường hợp 3: \(-a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+1=\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}\\z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-1\\z=1\end{cases}}}\)
Từ các trường trên ta thấy trường hợp nào cũng có 2 trong 3 phân thức \(x,y,z=1\)và còn lại \(=-1\)
TN
1 tháng 7 2017
Lần sau đăng ít một thôi toàn bài dài :v, ko phải ko làm mà là ngại làm
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{4}\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(THANG=abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ac\right)\left(c^2+ab\right)>0\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{b+c}{a^2+bc}-\frac{c+a}{b^2+ac}-\frac{a+b}{a^2+ab}\)
\(=\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{THANG}\)
\(=\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2THANG}\ge0\) (Đúng)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
c)Ta có:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)
Và \(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)
\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-b\right)}{\left(b+a\right)\left(b^2+a^2\right)}\)
Cộng theo vế 3 đăng thức trên ta có:
\(VT-VP=Σ\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\cdotΣ\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge0\)
2 bài cuối full quy đồng mệt thật :v
S
20 tháng 10 2018
a, \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(a+c\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\) (đpcm)
b, Từ \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\) hay ayz+bxz+cxy=0
Từ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\cdot\frac{cxy+ayz+bzx}{abc}=1\)
Mà ayz+bxz+cxy=1
=>\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) (đpcm)
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
NT
2
H
1
27 tháng 12 2019
Kiểm tra lại đề bài nhé.
Với a = 2; b = 2; c = -1 thỏa mãn đề bài : (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2
Nhưng không thỏa mãn đẳng thức cần chứng minh.