Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) a, Chứng minh a^5-a chia hết cho 5
b, Chứng minh a^7-a chia hết cho 7
Phần a)
Sử dụng bổ đề \(x^{mn}-1\vdots x^m-1\) với mọi \(m,n \in\mathbb{N}\)
Chứng minh bổ đề:
Thật vậy, theo hằng đẳng thức đáng nhớ:
\(x^{mn}-1=(x^m)^n-1^n=(x^m-1)[(x^m)^{n-1}+(x^m)^{n-2}+...+x^m+1]\vdots x^m-1\)
Bổ đề đc chứng minh.
-----------------------------------
Ta có:
\(x^{400}+x^{200}+1=x^{396}.x^4+x^{198}.x^2+1\)
\(=x^4(x^{396}-1)+x^2(x^{198}-1)+(x^4+x^2+1)\)
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán kết hợp với \(x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)\vdots x^4+x^2+1\) ta suy ra:
\(x^{396}-1=x^{6.66}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)
\(x^{198}-1=x^{6.33}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)
\(x^4+x^2+1\vdots x^4+x^2+1\) (hiển nhiên)
Do đó: \(x^{400}+x^{200}+1\vdots x^4+x^2+1\)
(đpcm)
Phần b)
\(F(x)=x^{1970}+x^{1930}+x^{1890}=x^{1890}(x^{80}+x^{40}+1)\)
Thấy rằng:
\(x^{80}+x^{40}+1=(x^{40}+1)^2-x^{40}=(x^{40}+1)^2-(x^{20})^2\)
\(=(x^{40}+1-x^{20})(x^{40}+1+x^{20})\)
Mà: \(x^{40}+1+x^{20}=(x^{20}+1)^2-x^{20}=(x^{20}+1)^2-(x^{10})^2\)
\(=(x^{20}+1-x^{10})(x^{20}+1+x^{10})\vdots x^{20}+x^{10}+1\)
Do đó:
\(x^{80}+x^{40}+1\vdots x^{20}+x^{10}+1\)
cách này là hữu ích nhất, còn có 1 cacnhs nữa là xét mod nhưng rất dài dòng và khó phát hiện nữa !
Đây là một hằng đẳng thức tổng quát bạn ơi,
\(a^{2k+1}+b^{2k+1}=\left(a+b\right)\left(a^{2k}+a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^2+...+a^2b^{2k-2}+ab^{2k-1}+b^{2k}\right)\)Từ đó ta có: \(a^{2k+1}+b^{2k+1}⋮a+b\)
vẫn chưa có người giúp em sao???
vậy mời em tham khỏa nhé :
a, cm : (12520 + 8).(2530+10)⋮ 15
ta có: (12520 + 8)(2530+10) ={ (12510)2 +8}.(2530+10)
vì 2530⋮ 5 và 10 ⋮ 5 ⇔ 2530 + 10 ⋮ 5 (1)
125 không chia hết cho 3 ⇔ (12510)2 : 3 dư 1 vì một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư
⇔ (12510)2 + 8 ⋮ 3 (2)
kết hợp 1 và 2 ta có :
{(12510)2 +8}.(2530+ 10) ⋮ 15 ⇔ (12520+8).(2530+10)⋮15 (đpcm)
b,cm: (72024 + 32).(491012 + 34) ⋮ 3
ta có: 72024 + 32 = (71012)2 + 32
vì 7 không chia hết cho 3 nên (71012)2 : 3 dư 1 vì số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư.
⇔ (71012)2 + 32 ⋮ 3 ⇔ 72024 + 32 ⋮ 3
⇔(72024 +32).(491012+34) ⋮ 3 (đpcm)