Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: \(\Leftrightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\right)>=0\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)(luôn đúng)
1) \(A=1+2+2^2+2^3+......+2^{2015}\)
\(\Leftrightarrow2A=2+2^2+2^3+......+2^{2016}\)
\(\Leftrightarrow2A-A=\left(2+2^2+2^3+......+2^{2016}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+......+2^{2015}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=2^{2016}-1\)
Vậy \(A=2^{2016}-1\)
6)Ta có: \(13+23+33+43+.......+103=3025\)
\(\Leftrightarrow2.13+2.23+2.33+2.43+.......+2.103=2.3025\)
\(\Leftrightarrow26+46+66+86+.......+206=6050\)
\(\Leftrightarrow\left(23+3\right)+\left(43+3\right)+\left(63+3\right)+\left(83+3\right)+.......+\left(203+3\right)=6050\)
\(\Leftrightarrow23+43+63+83+.......+203+3.10=6050\)
\(\Leftrightarrow23+43+63+83+.......+203+=6050-30\)
\(\Leftrightarrow23+43+63+83+.......+203+=6020\)
Vậy S=6020
b, B có 19 thừa số
=> \(-B=(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{9})(1-\frac{1}{16})...(1-\frac{1}{400}) \)
<=>\(-B=\frac{(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)...(20-1)(20+1)}{4.9.16...400} \)
<=>\(-B=\frac{(1.2.3.4...19)(3.4.5...21)}{(2.3.4.5.6...20)(2.3.4.5...20)} \)
<=>\(-B=\frac{21}{20.2} =\frac{21}{40} \)
<=>\(B=\frac{-21}{40} \)
Lời giải:
Ta có:
\(3=xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\leq \left(\frac{x+2+x^2-2x+4}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^3+8}\leq \frac{x^2-x+6}{2}\Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq \frac{2x^2}{x^2-x+6}\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)}_{M}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}=\frac{2(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+18}\)
\(\Leftrightarrow M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\) (do $xy+yz+xz=3$)
Mà :
\(\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}-1=\frac{(x+y+z)^2+(x+y+z)-12}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}=\frac{(x+y+z-3)(x+y+z+4)}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\geq 0\) do $x+y+z\geq 0$
Do đó: \(M\geq 1\Rightarrow \text{VT}\geq 1\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b}\left(x,y>0\right)\) ta có:
\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\ge x+y\left(1\right)\), vậy ta cần chứng minh \(\left(1\right)\) đúng
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:
\(A=\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{y^2}{y-1}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Đặt \(x+y=a\left(a>0\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{a^2}{a-2}\)
\(=\dfrac{8\left(a-2\right)+\left(a^2-8a+16\right)}{a-2}\)
\(=8+\dfrac{\left(a-4\right)^2}{a-2}\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:
\(A=\dfrac{x}{\sqrt{y}-1}+\dfrac{y}{\sqrt{z}-1}+\dfrac{z}{\sqrt{x}-1}\)
\(\ge\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-3}\)
Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=a\left(a>0\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{a^2}{a-3}\)
\(=\dfrac{12\left(a-3\right)+\left(a^2-12a+36\right)}{a-3}\)
\(=12+\dfrac{\left(a-6\right)^2}{a-3}\ge12\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2
\(\dfrac{2002}{\sqrt{2003}}+\dfrac{2003}{\sqrt{2002}}\)
\(=\dfrac{2002+1}{\sqrt{2003}}+\dfrac{2013-1}{\sqrt{2002}}+\dfrac{1}{\sqrt{2002}}-\dfrac{1}{\sqrt{2003}}\)
\(=\sqrt{2003}+\sqrt{2002}+\dfrac{1}{\sqrt{2002}}-\dfrac{1}{\sqrt{2003}}\)
\(>\sqrt{2003}+\sqrt{2002}+\dfrac{1}{\sqrt{2003}}-\dfrac{1}{\sqrt{2003}}=\sqrt{2003}+\sqrt{2002}\left(đpcm\right)\)
thanks!