Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\) <=> \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2< \left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)^2\)
<=> \(\dfrac{1}{a}< \left(a+1\right)+\left(a-1\right)-2\sqrt{a^2-1}\)
<=> \(2\sqrt{a^2-1}< 2a-\dfrac{1}{a}\)
<=> \(4\left(a^2-1\right)< 2\left(2a-\dfrac{1}{a}\right)^2\) <=> \(\dfrac{1}{a^2}>0\)
Vậy \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\) với mọi a ≥ 0=> đpcm.
1) \(A=1+2+2^2+2^3+......+2^{2015}\)
\(\Leftrightarrow2A=2+2^2+2^3+......+2^{2016}\)
\(\Leftrightarrow2A-A=\left(2+2^2+2^3+......+2^{2016}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+......+2^{2015}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=2^{2016}-1\)
Vậy \(A=2^{2016}-1\)
6)Ta có: \(13+23+33+43+.......+103=3025\)
\(\Leftrightarrow2.13+2.23+2.33+2.43+.......+2.103=2.3025\)
\(\Leftrightarrow26+46+66+86+.......+206=6050\)
\(\Leftrightarrow\left(23+3\right)+\left(43+3\right)+\left(63+3\right)+\left(83+3\right)+.......+\left(203+3\right)=6050\)
\(\Leftrightarrow23+43+63+83+.......+203+3.10=6050\)
\(\Leftrightarrow23+43+63+83+.......+203+=6050-30\)
\(\Leftrightarrow23+43+63+83+.......+203+=6020\)
Vậy S=6020
b, B có 19 thừa số
=> \(-B=(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{9})(1-\frac{1}{16})...(1-\frac{1}{400}) \)
<=>\(-B=\frac{(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)...(20-1)(20+1)}{4.9.16...400} \)
<=>\(-B=\frac{(1.2.3.4...19)(3.4.5...21)}{(2.3.4.5.6...20)(2.3.4.5...20)} \)
<=>\(-B=\frac{21}{20.2} =\frac{21}{40} \)
<=>\(B=\frac{-21}{40} \)
Lời giải:
Ta có:
\(3=xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\leq \left(\frac{x+2+x^2-2x+4}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^3+8}\leq \frac{x^2-x+6}{2}\Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq \frac{2x^2}{x^2-x+6}\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)}_{M}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}=\frac{2(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+18}\)
\(\Leftrightarrow M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\) (do $xy+yz+xz=3$)
Mà :
\(\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}-1=\frac{(x+y+z)^2+(x+y+z)-12}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}=\frac{(x+y+z-3)(x+y+z+4)}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\geq 0\) do $x+y+z\geq 0$
Do đó: \(M\geq 1\Rightarrow \text{VT}\geq 1\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\)
Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\) cho các căn thức ở mẫu, khi đó ta được:
\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\ge\) với biểu thức
\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\)
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\ge\dfrac{3}{4}\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2a+3b+3c\\y=3a+2b+3c\\z=3a+3b+2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{1}{4}\left(3y+3z-5x\right)\\2b=\dfrac{1}{4}\left(3z+3x-5y\right)\\2c=\dfrac{1}{4}\left(3x+3y-5z\right)\end{matrix}\right.\)
Khi đó đẳng thức trên được viết lại thành:
\(\dfrac{3y+3z-5x}{4x}+\dfrac{3z+3x-5y}{4y}+\dfrac{3x+3y-5z}{4z}\ge\dfrac{3}{4}\)
Hay: \(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)-15\ge3\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cô si.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}\)
Khi đó bđt đã tro chở thành:
\(\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{xy}{z^2+3xy}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}-\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{xy}{z^2+3xy}\ge1-\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x^2+3yz}+\dfrac{y^2}{y^2+3zx}+\dfrac{z^2}{z^2+3xy}\ge\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
2003x2004=(2002 + 1)x(2005 - 1)
=2002 x 2005 +2005 - 2002 - 1
=2002 x 2005 +2
vậy 2003 x 2004 lớn hơn nhé
chúc bn học tốt
1: \(\Leftrightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\right)>=0\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)(luôn đúng)
- Ta có : \(\frac{x-1}{2004}+\frac{x-2}{2003}=\frac{x-3}{2002}+\frac{x-4}{2001}\)
=> \(\frac{x-1}{2004}-1+\frac{x-2}{2003}-1=\frac{x-3}{2002}-1+\frac{x-4}{2001}-1\)
=> \(\frac{x-2005}{2004}+\frac{x-2005}{2003}=\frac{x-2005}{2002}+\frac{x-2005}{2001}\)
=> \(\frac{x-2005}{2004}+\frac{x-2005}{2003}-\frac{x-2005}{2002}-\frac{x-2005}{2001}=0\)
=> \(\left(x-2005\right)\left(\frac{1}{2004}+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2002}-\frac{1}{2001}\right)=0\)
=> \(x-2005=0\)
=> \(x=2005\)
Vậy phương trình trên có tập nghiệm là \(S=\left\{2005\right\}\)
\(\dfrac{2002}{\sqrt{2003}}+\dfrac{2003}{\sqrt{2002}}\)
\(=\dfrac{2002+1}{\sqrt{2003}}+\dfrac{2013-1}{\sqrt{2002}}+\dfrac{1}{\sqrt{2002}}-\dfrac{1}{\sqrt{2003}}\)
\(=\sqrt{2003}+\sqrt{2002}+\dfrac{1}{\sqrt{2002}}-\dfrac{1}{\sqrt{2003}}\)
\(>\sqrt{2003}+\sqrt{2002}+\dfrac{1}{\sqrt{2003}}-\dfrac{1}{\sqrt{2003}}=\sqrt{2003}+\sqrt{2002}\left(đpcm\right)\)
thanks!