Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ủa,\(2\left(xy-yz+zx\right)\) mới đúng chứ nhể ?
\(x^2=\left(y+z\right)^2=y^2+2yz+z^2\Rightarrow2yz=x^2-y^2-z^2\)
\(x=y+z\Rightarrow x-y=z\Rightarrow x^2-2xy+y^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2-z^2=2xy\)
\(x=y+z\Rightarrow y=x-z\Rightarrow y^2=x^2-2xz+z^2\Rightarrow x^2+z^2-y^2=2xz\)
Khi đó:
\(2xy-2yz+2zx=x^2+y^2-z^2-x^2+y^2+z^2+x^2+z^2-y^2=x^2+y^2+z^2\)
=> đpcm
Thêm một cách nhé!
\(x=y+z\)
=> \(y+z-x=0\)
=> \(\left(y+z-x\right)^2=0\)
=> \(\left(y+z\right)^2-2x\left(y+z\right)+x^2=0\)
=> \(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=0\)
=> \(2\left(xy-yz+xz\right)=x^2+y^2+z^2\)
\(A=\left(xy+yz+xz\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-xyz\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\\ =y+x+\dfrac{xy}{z}+y+z+\dfrac{yz}{x}+x+z+\dfrac{xz}{y}-\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\\ =2\left(x+y+z\right)=2.2018=4036\)
x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz
2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2xz
2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0
x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 = 0
(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2 = 0 mà (x - y)2 ; (x - z)2 ; (y - z)2 đều ko âm
=> (x - y)2 = (x - z)2 = (y - z)2 = 0 => x - y = x - z = y - z = 0 => x = y = z
Chúc bạn học tốt 
Ta có \(xy+xz+yz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y+z-3\ge0\) (do \(x+y+z+6>0\))
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{3^2}{3}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
//Hoặc cách khác sử dụng AM-GM:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\);
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
Cộng vế với vế của 4 BĐT trên ta có:
\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM thì:
$1=\frac{3}{2}x^2+y^2+z^2+yz=\frac{3}{2}x^2+(y+z)^2-yz\geq \frac{3}{2}x^2+(y+z)^2-\frac{(y+z)^2}{4}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2=(x+y+z)^2\leq [\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}(y+z)^2](\frac{2}{3}+\frac{4}{3})\leq 1.2$
$\Leftrightarrow P^2\leq 2$
$\Rightarrow -\sqrt{2}\leq P\leq \sqrt{2}$
Vậy $P_{\min}=-\sqrt{2}$ tại \((x,y,z)=(\frac{-\sqrt{2}}{3};\frac{-\sqrt{2}}{3}; \frac{-\sqrt{2}}{3}) \)
$P_{\max}=\sqrt{2}$ tại \((x,y,z)=(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3})\)