NL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2019
Do \(xyz\ne0\) ta có:
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}=0\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)=0\Leftrightarrow x+y+z=0\)
Lại có: \(x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+3x^2y+3y^2x-3xy\left(x+y\right)+z^3\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(-z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right)+3xyz=3xyz\)
Vậy nếu \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(P=\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{xz}+\dfrac{z^2}{xy}=\dfrac{x^3}{xyz}+\dfrac{y^3}{xyz}+\dfrac{z^3}{xyz}=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\dfrac{3xyz}{xyz}=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2019
Ta có \(xy+xz+yz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y+z-3\ge0\) (do \(x+y+z+6>0\))
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{3^2}{3}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
//Hoặc cách khác sử dụng AM-GM:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\);
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
Cộng vế với vế của 4 BĐT trên ta có:
\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NB
1
KB
18 tháng 11 2018
Ta có : \(xy+yz+xz=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
C/m 1 bài toán phụ
Cho \(a+b+c=0\) . CM : \(a^3+b^3+c^3=0\)
Do \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
Lại có : \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3=-c^3-3ab\left(-c\right)+c^3=3abc\)
Từ bài toán phụ trên mà ta lại có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)
Ta lại có : \(M=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\)
Vậy \(M=3\)
Học tốt nhé bạn 
LW
4
12 tháng 2 2020
\(\text{Sử dụng AM-GM, ta có}\)
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\text{Cộng theo vế, ta được}\)
\(6=x+y+z+xy+yz+xz\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2+y^2+z^2}\)
Suy ra\(x^2+y^2+z^2\ge3\)
PG
12 tháng 2 2020
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+\frac{3}{2}\ge x+y+z\)
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;z^2+x^2\ge2zx\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Khi đó:\(\frac{3}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{3}{2}\ge x+y+z+xy+yz+zx=6\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
NT
0
12 tháng 9 2017
Các thánh giúp e nha Ace Legona Nguyễn Huy Tú Toshiro Kiyoshi Phương An Akai Haruma @Nguyễn Vũ Phượng Thảo
x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz
2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2xz
2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0
x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 = 0
(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2 = 0 mà (x - y)2 ; (x - z)2 ; (y - z)2 đều ko âm
=> (x - y)2 = (x - z)2 = (y - z)2 = 0 => x - y = x - z = y - z = 0 => x = y = z
Chúc bạn học tốt