Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Text
cho a,b,c>0 thỏa x2+y2+z2=1.tìm gtnn của P=\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
\(P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2x\ge3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) ; \(\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)
Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
Do x\(^3\)+y\(^3\)+z\(^3\)=3xyz\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+y+z=0\\x=y=z\end{array}\right.\)
TH1:x+y+z=0\(\Rightarrow P=\frac{xyz}{\left(-z\right)\left(-y\right)\left(-x\right)}=-1\)
TH2:x=y=z\(\Rightarrow P=\frac{xyz}{8xyz}=\frac{1}{8}\)
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)
đây là BĐT cơ bản luôn đúng suy ra đpcm
Lời giải:
Ta thấy \(x^3+y^3+z^3\leq 9\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 9\)
\(\Leftrightarrow 27-3[(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz]\leq 9\)
\(\Leftrightarrow 3(xy+yz+xz)-xyz\geq 6(\star)\)
Vì \(x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow xyz+4\leq 2(xy+yz+xz)\)
Mặt khác \(xyz\geq 0\rightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4\rightarrow xy+yz+xz\geq 2\)
Do đó \(3(xy+yz+xz)-xyz\geq 2+4+xyz-xyz=6\)
Từ đó BĐT \((\star)\) hay ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((x,y,z)=(2,1,0)\) và các hoán vị.
\(VT=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)