HP
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QL
2
10 tháng 5 2019
Áp dụng côsi cho 3 số ta có
\(2xy+2xy+\left(x^2+y^2\right)\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\)
=> \(4+2xy\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\)
Mà \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)
=> \(3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\le6\)
=> \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)( Điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
10 tháng 5 2019
Cách khác nè
\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.\left(x^2+y^2\right)2xy\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{1}{2}.\frac{4}{4}.\frac{16}{4}=2\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
:))
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 11 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si với \(x; \frac{1}{x}\) là hai số dương:
\(x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2\geq 4\)
Tương tự, \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 4\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 8\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\\ y=\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
P.s: Có thể thấy điều kiện $x+y=2$ là dư thừa.
5 tháng 1 2019
Hem thừa .-.
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2}{2}=8\)
S
13 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
D
3 tháng 9 2018
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel, ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
DP
0
NM
1
30 tháng 8 2017
Biến đổi tương đương :
\(2\left(x^5+y^5\right)\ge\left(x^2+y^2\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^5+2y^5\ge x^5+x^2y^3+y^2x^3+y^5\)
\(\Leftrightarrow2x^5+2y^5-x^5-x^2y^3-y^2x^3-y^5\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^5+y^5-x^2y^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)-x^2y^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y-xy^3+y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y-xy^3+y^4\ge0\)(do x;y > 0)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^3y+x^2y^2+x^3y-2x^2y^2+xy^3+y^4-2xy^3+x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)+xy\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng \(\forall x;y>0\))
Vậy bđt đã đc chứng minh
HP
1
HN
17 tháng 6 2016
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương x, y ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{2}{2}\right)^2\ge xy\Leftrightarrow1\ge xy\)
ta có : \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=4-2xy\le4-2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le2\) (1)
áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương x2,y2 ta được:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2\ge x^2y^2\)
mà \(\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2\le\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\)
nên: \(x^2y^2\le1\) (2)
nhân 1 và 2 vế theo vế ta được:
\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)
dấu "='' xảy ra khi và chỉ khi x=y=1
MS
2
HN
10 tháng 4 2017
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2}+8\ge6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\left(\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1\right)+\left(\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)^2+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\) (đúng)
2 tháng 10 2017
cách khác
đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(\Leftrightarrow t^2-3t+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
điều này luôn đúng với mọi |t| >=2 => dpcm
kết luận điều kiện đề hơi thừa
cái cần c/m đúng với mọi x,y khác 0
Xét VT = 1/ab + 1/(a² + b²) = 1/2ab + 1/(a² + b²) + 1/2ab
Áp dụng bđt: 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) với x, y >0 và với a + b = 1
ta có: 1/2ab + 1/(a² + b²) ≥ 4/(2ab + a² + b²) = 4/(a + b)² = 4
Áp dụng bđt 4xy ≤ (x + y)²
ta có: 1/2ab = 2/4ab ≥ 2/(a + b)² = 2 => VT ≥ 4 + 2 = 6
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 nên a = b = ½
Nhók Silver Bullet: đúng là "bản sao" của VICTOR_Nobita Kun