Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
a/ \(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
b/ \(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
c/ BĐT sai
1. Đặt : x = a + \(\dfrac{1}{3}\) ; y = b + \(\dfrac{1}{3}\) ; z = \(c+\dfrac{1}{3}\)
Ta có : x + y + z = 1
⇒ a + b + c = 0
Ta có : x2 + y2 + z2 = ( a + \(\dfrac{1}{3}\))2 + ( b + \(\dfrac{1}{3}\))2 + ( c + \(\dfrac{1}{3}\))2
= a2 + \(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{1}{9}+b^2+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{1}{9}+c^2+\dfrac{2}{3}c+\dfrac{1}{9}\)
= \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+a^2+b^2+c^2\)
= \(\dfrac{1}{3}+a^2+b^2+c^2\) ≥ \(\dfrac{1}{3}\)
Dâu "=" xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 0 ⇔ x = y = z = \(\dfrac{1}{3}\)
Biến đổi tương đương :
\(2\left(x^5+y^5\right)\ge\left(x^2+y^2\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^5+2y^5\ge x^5+x^2y^3+y^2x^3+y^5\)
\(\Leftrightarrow2x^5+2y^5-x^5-x^2y^3-y^2x^3-y^5\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^5+y^5-x^2y^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)-x^2y^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y-xy^3+y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y-xy^3+y^4\ge0\)(do x;y > 0)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^3y+x^2y^2+x^3y-2x^2y^2+xy^3+y^4-2xy^3+x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)+xy\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng \(\forall x;y>0\))
Vậy bđt đã đc chứng minh