Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
12=4(x2+y2+xy)= 3(x+y)2+(x-y)2>= 3(x+y)2
=> (x+y)2<=4 => Max, Min
Ta có: \(xy+yz+2xz\le k\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1\right)\)
Hay cần tìm \(k>0\) để \(\left(1\right)\) luôn đúng
\(\left(1\right)\Leftrightarrow ky^2-y\left(x+z\right)+kx^2+kz^2-2xz\ge0\)
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn \(y\) thì cần tìm \(\Delta<0\forall x,z\)
\(\Delta=\left(1-4k^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2\left(1+4k\right)xz\)
Bất đẳng thức trên đối xứng theo \(x,z\) nên dự đoán \(P_{Max}\) khi \(x=z\)
Thay \(x=z=1\Rightarrow2k^2-2k-1=0\Rightarrow k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}>0\)
\(\Rightarrow P_{Max}=3\cdot\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
Ta có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}.2.\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)
Áp dugnj bđt bunhia ta được \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)(vì x+y+z=3)
\(\Rightarrow M\ge\frac{9}{3}=3\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z và x+y+z=3 =>x=y=z=1
b,
\(P=\frac{x}{\left(x+10\right)^2}\le\frac{x}{40x}=\frac{1}{40}\)
dấu = xảy ra khi x=10
Có: \(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2\left|xy\right|\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\);
\(x^2+y^2\ge2\left|xy\right|\ge-2xy\Rightarrow xy\ge-\frac{x^2+y^2}{2}\)
\(4=x^2+y^2-xy\le x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{8}{3}\)
\(4=x^2+y^2-xy\ge x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow x^2+y^2\le8\)
Tìm cách chỉ ra dấu bằng trong từng trường hợp.
MAx
ó thể thấy rằng:
xy + yz + 2zx = y(x + z) + 2zx <= lyllx + zl + 2zx (1).
Lại có lx + zl <= căn[2(x^2 + z^2)] = căn[2(1 - y^2)] và 2zx <= z^2 + x^2 = 1 - y^2; từ đây suy ra
xy + yz + 2zx <= lylcăn[2(1 - y^2)] + 1 - y^2 (2).
Tiếp đến, ta sẽ chứng minh lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 + 1/2 (3), từ đó suy ra kết quả của bài toán. Thật vậy, ta có
lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 - 1/2 <=> lylcăn[2(1 - y^2)] <= y^2 + căn(3)/2 - 1/2
<=> 2y^2(1 - y^2) <= y^4 + (căn(3) - 1)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - (3 - căn(3))y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - 2căn(3)(căn(3)/2 - 1/2)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> (căn(3)y^2 - căn(3)/2 + 1/2)^2 >= 0.
Đẳng thức xảy ra khi y = căn[1/2 - 1/2căn(3)] hoặc y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].
Từ (1),(2),(3) suy ra
xy + yz + 2zx <= căn(3)/2 + 1/2.
Dấu = xảy ra khi dấu = của (1),(2),(3) cùng xảy ra, tức là x = z = (1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = căn[1/2 - 1/2căn(3)], hoặc x = z = (-1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].