Question

[♥➴Hận đời FA➴♥]

Cho x, y > 0 và xy = 1 . Chứng minh: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\)

Answer 1

[KAl(SO4)2·12H2O]

Đặt:  \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)

Ta có: \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}+\frac{2}{x+y}\left(\text{Do: xy = 1}\right)\)

                                                         \(=x+y+\frac{2}{x+y}\)

                                                         \(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)

Đặt: \(B=\frac{x+y}{2};C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)

\(\Rightarrow A=B+C\)

Vì x, y > 0, áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(\Rightarrow B=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{1}=1\) (1)

Ta có: x, y > 0 => x + y > 0

Áp dụng BĐT \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với hai số dương x + y và 2

\(\Rightarrow C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\) (2)

\(\text{Từ (1); (2) }\Rightarrow B+C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge1+2\)

                      \(\Rightarrow A\ge3\)

                     \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\)

                      => ĐPCM