TH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(P=\frac{a^2}{ab+2ca}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1\)
Cộng thêm giả thiết abc=1, suy ra dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
28 tháng 7 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si liên tục 2 lần ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(2\cdot\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Hay ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều
TD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2020
\(abc+a+c=b\Leftrightarrow ac+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=1\)
\(\Rightarrow\) tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho: \(\left\{{}\begin{matrix}a=tan\frac{A}{2}\\\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2}\\c=tan\frac{C}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt vế trái của biểu thức là P, ta có:
\(P=\frac{2}{1+tan^2\frac{A}{2}}-\frac{2}{1+\frac{1}{tan^2\frac{B}{2}}}+\frac{3}{1+tan^2\frac{C}{2}}=2cos^2\frac{A}{2}-2sin^2\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}\)
\(=cosA+cosB+3cos^2\frac{C}{2}=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}\)
\(=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-3sin^2\frac{C}{2}-\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+3\)
\(=-3\left(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}cos\frac{A-B}{2}\right)^2+\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+3\le0+\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}\)
20 tháng 4 2016
Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)
Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 4 2020
\(\left\{{}\begin{matrix}AO\perp OB\\AO\perp OC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AO\perp\left(ABC\right)\Rightarrow OA\perp BC\)
\(OH\perp\left(ABC\right)\Rightarrow OH\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(OAH\right)\)
b/ \(BC\perp\left(OAH\right)\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\) là 1 đường cao trong tam giác ABC
Chứng minh tương tự câu a ta có\(AC\perp\left(OBH\right)\Rightarrow AC\perp BH\Rightarrow BH\) cùng là 1 đường cao
\(\Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ABC
c/ Gọi M là giao điểm AH và BC \(\Rightarrow AM\perp BC\)
Áp dụng hệ thức lượng: \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OM^2}\) (2)
\(BC\perp\left(OAH\right)\Rightarrow BC\perp OM\Rightarrow OM\) là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông OBC
Áp dụng hệ thức lượng: \(\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\) (3)
(2);(3) \(\Rightarrow\) đpcm
d/ \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{OA^2+OB^2+OA^2+OC^2-\left(OB^2+OC^2\right)}{2AB.AC}=\frac{OA^2}{AB.AC}>0\)
\(\Rightarrow A\) là góc nhọn
Tương tự ta có: \(cosB=\frac{OB^2}{AB.BC}>0\) ; \(cosC=\frac{OC^2}{AC.BC}>0\) nên B, C đều nhọn
Vậy ABC là tam giác nhọn
20 tháng 4 2016
Nếu 3 cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có a + c = 2b
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=4\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\left(1\right)\)
Vì \(A+C=180^0-B\Rightarrow\frac{A+C}{2}=90^0-\frac{B}{2}\)
<=> \(\sin\frac{A+C}{2}=\sin\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\) hoặc \(\cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\sin\frac{B}{2}\) (*)
Do đó (1) trở thành :
\(\Leftrightarrow\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}=3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cot\frac{A}{2}\cot\frac{C}{2}=3\) => Điều phải chứng minh
21 tháng 4 2016
Theo giả thiết ta có hệ : \(\begin{cases}A=90^0\\a,b,\frac{\sqrt{6}}{3},c\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2=b^2+c^2\\\frac{2}{3}b^2=ac\Leftrightarrow b^2=\frac{3}{2}ac\end{cases}\)
Từ đó suy ra \(a^2=\frac{3}{2}ac+c^2\Leftrightarrow2a^2=3ac+2c^2\Leftrightarrow\left(2a+c\right)\left(a-2c\right)=0\)
\(\Rightarrow a=2c\left(2a+c>0\right)\)
Mà \(\cos B=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow B=60^0,C=30^0\)
Vậy tam giác ABC là tam giác nửa đều
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
a) Theo định lý sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \to b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\) thay vào \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) ta có:
\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}a.\frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}.sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm)
b) Ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow \hat A = {180^0} - {75^0} - {45^0} = {60^0}\)
\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}.\sin {{75}^0}.\sin {{45}^0}}}{{2.\sin {{60}^0}}} = \frac{{144.\frac{1}{2}.\left( {\cos {{30}^0} - \cos {{120}^0}} \right)}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}} = \frac{{72.(\frac{{\sqrt 3 }}{2}-\frac{{-1 }}{2}})}{{\sqrt 3 }} = 36+12\sqrt 3 \)
DT
1
22 tháng 3 2016
Xét các vec tơ đơn vị \(\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{BC}}{BC};\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}\) trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC
Có \(0\le\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{BC}}{BC};\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}\right)^2=3-2\left(\cos A+\cos B+\cos C\right)\)
Suy ra \(\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}\) => Điều cần chứng minh
ta có : A+C+B=\(_{\pi}\) \(\Rightarrow\) A+2A+4A=\(\pi\) \(\Rightarrow\) A=\(\frac{\pi}{7}\) ,B=\(\frac{2\pi}{7}\),C=\(\frac{4\pi}{7}\)
Do đó : \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow\) BC=AB+AC
\(\Leftrightarrow\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}=\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{6\pi}{7}=\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{6\pi}{7}=\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}\) (điều hiển nhiên)