Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(P=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2xy}{x-y}\)
\(=x-y+\frac{16}{x-y}\ge2.4=8\)
Đặt \(t=x^2+y^2\) thì ta có :
\(P^2=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}=\frac{t^2}{t-16}=\frac{1}{\frac{t-16}{t^2}}=\frac{1}{-\frac{16}{t^2}+\frac{1}{t}}=\frac{1}{-16\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{32}\right)^2+\frac{1}{64}}\ge\frac{1}{\frac{1}{64}}=64\)
\(\Rightarrow P\ge8\). Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=32\\xy=8\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2+2\sqrt{2}\\y=-2+2\sqrt{3}\end{cases}}\)
Ta có:
\(GT\Leftrightarrow2-3x^2=2\left(y+z\right)^2-2yz\ge2\left(y+z\right)^2-\dfrac{1}{4}.2\left(y+z\right)^2=\dfrac{3\left(y+z\right)^2}{2}\)(AM-GM)
\(\Rightarrow4-6x^2\ge3\left(y+z\right)^2\Leftrightarrow4\ge3\left[2x^2+\left(y+z\right)^2\right]\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky: \(\left(1+2\right)\left[2x^2+\left(y+z\right)^2\right]\ge2\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{Min}=-\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\);\(P_{Max}=\sqrt{2}\)khi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
\(M=\sqrt{3}xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2\right)-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\).
Nên GTNN của M là \(-\frac{1}{2}\) đạt được khi \(x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}\)
+,Với \(y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
+,Với \(y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta lại có:\(M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Nên GTLN của M là \(\frac{3}{2}\) đạt được khi \(\sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}\)
+,Với \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
+,Với \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
M=3xy+y2=21(x2+23xy+3y2)−21x2−21y2
=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}=21(x+3y)2−21≥−21.
Nên GTNN của M là -\frac{1}{2}−21 đạt được khi x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}x=−3y⇒x2=3y2⇒4y2=1⇒y=±21
+,Với y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}y=21⇒x=−23
+,Với y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}y=−21⇒x=23
Ta lại có:M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}M=3xy+y2≤23x2+y2+y2=23x2+3y2=23
Nên GTLN của M là \frac{3}{2}23 đạt được khi \sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}3x=y⇒3x2=y2⇒4x2=1⇒x=±21
+,Với x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}x=21⇒y=23
+,Với x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x=−21⇒y=−23
\(P=xy+x+y\le\dfrac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\dfrac{2017}{2}+\sqrt{2.2017}=\dfrac{2017}{2}+\sqrt{4034}\)