Question

[Phạm Thị Mai Hương]

Cho \(\Delta\) ABC nhọn . Vẽ AM \(\perp\) AB và AM = AB ( C và M nằm ở hai phía đối với bờ AB). Vẽ AN \(\perp\) AC, AN = AC ( B và N thuộc hai phía đối với bờ AC )

a) Chứng minh rằng : \(\Delta\) AMC = \(\Delta\) ABN

b) Chứng minh rằng : MC= BN và MC \(\perp\) BN

c) Gọi I và K lần lợt là trung điểm của BN và MC. CHứng minh rằng : AI= AK và AI \(\perp\) AK

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

A B C M N J G K I

a) Ta thấy \(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}=90^o+\widehat{BAC}=\widehat{CAN}+\widehat{BAC}=\widehat{BAN}\)

Xét tam giác MAC và BAN có:

AM = AB

AC = AN

\(\widehat{MAC}=\widehat{BAN}\)

\(\Rightarrow\Delta MAC=\Delta BAN\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\Delta MAC=\Delta BAN\Rightarrow MC=BN\) (Hai cạnh tương ứng)

Ta cũng có \(\widehat{AMC}=\widehat{ABN}\)

Gọi giao điểm của AB và MC là J, của MC và BD là G.

Xét tam giác vuông MAJ ta có \(\widehat{AMJ}+\widehat{MJA}=90^o\)

Mà \(\widehat{AMJ}=\widehat{JBG};\widehat{MJA}=\widehat{BJG}\) (Hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{JBG}+\widehat{BJG}=90^o\Rightarrow\widehat{JGB}=90^o\) hay \(MC\perp BN\)

c) Ta thấy ngay \(\Delta AMK=\Delta ABI\left(c-g-c\right)\Rightarrow AK=AI\) (Hai cạnh tương ứng)

Ta cũng có \(\Delta AIN=\Delta AKC\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{IAN}=\widehat{KAC}\)

Vậy thì \(\widehat{IAK}=\widehat{IAC}+\widehat{CAK}=\widehat{IAC}+\widehat{IAN}=\widehat{CAN}=90^o\)

Suy ra \(AI\perp AK\)