Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(x\ge2y\)
tìm giá trị nhỏ nhất của \(M=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)
ta có: \(M=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{3x}{4y}+\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}\) (*)
vì \(x\ge2y\Rightarrow\dfrac{x}{y}\ge2\Rightarrow\dfrac{3x}{4y}\ge\dfrac{3}{4}\cdot2=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\) (1)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương \(\dfrac{x}{4y}\)và \(\dfrac{y}{x}\), ta được:
\(\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4}}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1\) (2)
từ (*), (1) và (2)
=> M\(\ge1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\dfrac{x}{4y}=\dfrac{y}{x}\Leftrightarrow x^2=4y^2\Leftrightarrow x=2y\)
\(\Leftrightarrow x=1,y=\dfrac{1}{2}\)
Từ điều kiện bài toán ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x-y\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x^2-2xy+y^2\ge0\end{cases}}\)
Thế vào ta được
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\ge\frac{x^2}{xy}=\frac{x}{y}\ge1\)
Dấu = xảy ra khi x = y
Bài 1:
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x})-2\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)
\(\frac{7x}{4y}\geq \frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do $x\geq 2y$
Do đó: \(P\geq \frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{5}{2}$ khi $x=2y$
Bài 2:
\(P=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}=4(x^2+y^2)+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\frac{x^2+y^2}{4}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{4}.\frac{1}{4(x^2+y^2)}}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|=2.\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{15(x^2+y^2)}{4}\geq \frac{15}{4}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow P\geq \frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Lời giải:
Ta có: \(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(M=\frac{3x}{4y}+\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\)
Áp dụng BĐT Cô -si ta có: \(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Vì \(x\geq 2y\Rightarrow \frac{3x}{4y}\geq \frac{3.2y}{4y}=\frac{3}{2}\)
Do đó: \(M\geq \frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2y\)
a
Dễ thấy theo AM - GM ta có:
\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{4y}\right)+\frac{3x}{4y}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{4y}}+\frac{3\cdot2y}{4y}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(x=2y\)
b
\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\left[\frac{\left(x^2+3\right)}{9}+\frac{1}{x^2+3}\right]+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9}\cdot\frac{1}{x^2+3}}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{10}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=0
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
\(x\ge2y\Rightarrow\dfrac{x}{y}\ge2\)
\(M=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{x}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{4xy}}+\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{5}{2}\)
\(M_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(x=2y\)
\(M=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{y}}\ge2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\)
giải theo cách này có được không ạ