Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ điều kiện bài toán ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x-y\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x^2-2xy+y^2\ge0\end{cases}}\)
Thế vào ta được
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\ge\frac{x^2}{xy}=\frac{x}{y}\ge1\)
Dấu = xảy ra khi x = y
cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(x\ge2y\)
tìm giá trị nhỏ nhất của \(M=\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)
ta có: \(M=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{3x}{4y}+\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}\) (*)
vì \(x\ge2y\Rightarrow\dfrac{x}{y}\ge2\Rightarrow\dfrac{3x}{4y}\ge\dfrac{3}{4}\cdot2=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\) (1)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương \(\dfrac{x}{4y}\)và \(\dfrac{y}{x}\), ta được:
\(\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4}}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1\) (2)
từ (*), (1) và (2)
=> M\(\ge1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\dfrac{x}{4y}=\dfrac{y}{x}\Leftrightarrow x^2=4y^2\Leftrightarrow x=2y\)
\(\Leftrightarrow x=1,y=\dfrac{1}{2}\)
a
Dễ thấy theo AM - GM ta có:
\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{4y}\right)+\frac{3x}{4y}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{4y}}+\frac{3\cdot2y}{4y}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(x=2y\)
b
\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\left[\frac{\left(x^2+3\right)}{9}+\frac{1}{x^2+3}\right]+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9}\cdot\frac{1}{x^2+3}}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{10}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=0
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
\(P=\sqrt{\frac{1}{36}\left(11a+7b\right)^2+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}+\sqrt{\frac{1}{36}\left(7a+11b\right)+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}\left(3a+5b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}+\sqrt{\frac{1}{16}\left(5a+3b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}\)
\(\ge\frac{1}{6}\left(11a+7b\right)+\frac{1}{6}\left(7a+11b\right)+\frac{1}{4}\left(3a+5b\right)+\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)
\(=5\left(a+b\right)=5.2016=10080\)
Lời giải:
Ta có: \(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(M=\frac{3x}{4y}+\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\)
Áp dụng BĐT Cô -si ta có: \(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Vì \(x\geq 2y\Rightarrow \frac{3x}{4y}\geq \frac{3.2y}{4y}=\frac{3}{2}\)
Do đó: \(M\geq \frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2y\)
\(\Leftrightarrow x=1;y=\dfrac{1}{2}\)