HP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 12 2015
\(VT^2\ge\left(1+1+1+1\right)\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\right)\ge4.1=4\)
=> VT >/ 2
Dễ CM được \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{b+a+c}\ge1\)
28 tháng 12 2015
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)
\(\ge\frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+d+a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c+d}{2}}+\frac{d}{\frac{a+b+c+d}{2}}=2\)
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b + c+ d
b = c+d+a
c = b+a+d
d = a+b+c
Hình như ko có a ; b; c ;d
KN
15 tháng 12 2019
Cô si lên:
\(S\ge8\sqrt[8]{\frac{abcd\left(b+c+d\right)\left(a+c+d\right)\left(a+b+d\right)\left(a+b+c\right)}{abcd\left(b+c+d\right)\left(a+c+d\right)\left(a+b+d\right)\left(a+b+c\right)}}=8\)
16 tháng 12 2019
๖²⁴ʱČøøℓ ɮøү 2к⁷༉ Liệu điểm rơi có xảy ra ???
Dùng \(\Sigma_{cyc}\) với \(\Pi_{cyc}\) cho nó lẹ nha,chớ mik nhác lắm:((
\(S=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}\right)\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}\right)+\Sigma_{cyc}\frac{8}{9}\cdot\frac{b+c+d}{a}\)
\(\ge8\sqrt[8]{\Pi_{cyc}\frac{a}{b+c+d}\cdot\Pi_{cyc}\frac{b+c+d}{9a}}+\frac{8}{9}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right)\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}\cdot12\left(use:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\right)\)
\(=\frac{40}{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=d.
P/S:Viết tắt rồi mà vẫn dài:( Thử hỏi xem nếu ko viết thì sao ??
HL
0
HN
1
23 tháng 11 2016
Ta có
\(4\left(a+b+c+d\right)^2=\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+d\right)+\left(d+a\right)\right)^2\)
\(=\left(\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b+c+d}}.\sqrt{a+b}.\sqrt{b+c+d}+\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{c+d+a}}.\sqrt{b+c}.\sqrt{c+d+a}+\frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{d+a+b}}.\sqrt{c+d}.\sqrt{d+a+b}+\frac{\sqrt{d+a}}{\sqrt{a+b+c}}.\sqrt{d+a}.\sqrt{a+b+c}\right)^2\)
\(\le\left(\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}{c+d+a}+\frac{c+d}{d+a+b}+\frac{d+a}{a+b+c}\right)\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)}\)(1)
Ta chứng minh
\(4\left(a+b+c+d\right)^2\ge\frac{8}{3}\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ (1) và (2) ta
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}{c+d+a}+\frac{c+d}{d+a+b}+\frac{d+a}{a+b+c}\ge\frac{8}{3}\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c = d