VD
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TL
1
15 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2\sqrt{\left(bc\right)^2}=2\left|bc\right|=2bc\)( b,c > 0 )
=> a( b2 + c2 ) ≥ 2abc
Tương tự : b( c2 + a2 ) ≥ 2abc ; c( a2 + b2 ) ≥ 2abc
Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
NH
1
HD
25 tháng 9 2017
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ac\right)=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ac\right)=3abc\)
Đặt \(\left(a+b+c,ab+bc+ac,abc\right)=\left(p,q,r\right)\)
\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)
Khi đó \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3+3pq+3r=p\left(p^2-3q\right)+3r=3pr+3r\)
Vậy .....
Chúc bạn học tốt!
NV
0
AS
1
22 tháng 5 2017
nhận thấy nếu áp dụng bất đẳng thức như bình thường thì ta sẽ bị ngược dấu, do đó ta dùng kỹ thuật cauchy ngược dấu
ta có:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)=a-\(\dfrac{a.b^2}{a^2+b^2}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{a.b^2}{2ab}\)=a-\(\dfrac{b}{2}\)
\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)=b-\(\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\ge\)b-\(\dfrac{b}{2b}\)=b-\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{a^2+1}\)=1-\(\dfrac{a^2}{a^2 +1}\)\(\ge\)1-\(\dfrac{a^2}{2a}\)=1-\(\dfrac{a}{2}\)
cộng từng vế của bất đẳng thức lại với nhau ta được:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)+\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)+\(\dfrac{1}{a^2+1}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{b}{2}\)+b-\(\dfrac{1}{2}\)+1-\(\dfrac{a}{2}\)=\(\dfrac{a+b+1}{2}\)
DK
1
PN
30 tháng 8 2020
Chia cả 2 vế của giả thiết cho a,b,c ta được :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\leftrightarrow\)khi đó bài toán trở thành :
\(xy+yz+zx+x+y+z=6\)
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}< =>x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(*)
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\z^2+x^2=2\sqrt{z^2x^2}=2zx\end{cases}< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge}2\left(xy+yz+zx\right)\)(**)
Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)=2.6=12\)
\(< =>x^2+y^2+z^2+1\ge\frac{12}{3}=4< =>x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1< =>a=b=c=1\)
TN
0
HT
4
23 tháng 8 2019
Đề<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=6abc
<=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3abc
nhân cả hai vế với a+b+c+1 ta đc câu trả lời
chúc bạn học tốt
25 tháng 8 2019
cho mình hỏi ai còn cách khác bài bạn cậu chủ họ Lương thì gợi ý giúp mình vs nhé.
tks!
a^2+b^2>= 2ab thì a(b^2+c^2) >= 2abc . Làm tương tự suy ra dpcm
CMR la j