KY
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NN
1 tháng 4 2017
c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)
19 tháng 2 2021
\(\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)=a^6+b^6+a^4+b^4\ge2a^3b^3+2a^2b^2=4\)
dấu = khi a = b = 1
PN
21 tháng 2 2021
Theo giả thiết ta có \(ab=1\)
Sử dụng bđt Cô-si :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}=2\)
\(a^5+b^5\ge2\sqrt{a^5b^5}=2\)
Nhân theo vế ta có ngay điều phải chứng minh
L
Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\). Dấu của đẳng thức xảy ra khi nào?
0
20 tháng 3 2023
3.1
Xét hiệu :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)
Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)
3.2
Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)
nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )
Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
TM
1
29 tháng 5 2020
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\left(\frac{1}{a+1}+\frac{4}{9}.\frac{a+1}{1}\right)+\left(\frac{1}{b+1}+\frac{4}{9}.\frac{b+1}{1}\right)-\frac{4}{9}\left(a+1\right)-\frac{4}{9}\left(b+1\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{1}{a+1}.\frac{4}{9}\frac{a+1}{1}}+2\sqrt{\frac{1}{b+1}.\frac{4}{9}\frac{b+1}{1}}-\frac{4}{9}\left(a+b+2\right)\)( BĐT cô si)
\(=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" <=> a = b = 1/2
Cách khác:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+1+b+1}=\frac{4}{3}\)( hệ quả bđt cô - si )
DV
1
18 tháng 5 2020
\(\left(a+b\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{ab}\right)=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}>=\frac{4ab}{ab}=4\)
Ta có: (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\left(a+b\right)\frac{4}{a+b}\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\frac{4}{\left(a+b\right)}}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow a=b;\left(a+b\right)^2=4\Leftrightarrow a=b=1\)