BT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
6
BH
19 tháng 3 2019
Ta có :
\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab=1^3-3ab+ab=1-2ab\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow-ab\ge\frac{-1}{4}\Rightarrow-2ab\ge-\frac{1}{2}\Rightarrow1-2ab\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
28 tháng 8 2019
\(sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b\right)^2\left(a^3+b^3\right)}=sigma\frac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{9}{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
30 tháng 9 2019
Bài 1:
Xét A= \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\)
\(2A=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\\ =\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\\ =\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\\ \Rightarrow A\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
30 tháng 9 2019
Bài 2:
Xét \(A=a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}-a-b-c\)
\(\Rightarrow A=\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)\\ =\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b,c\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
DQ
31 tháng 5 2017
\(b^2.\dfrac{\left(1+ab\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\) or \(b^2+\dfrac{\left(1+ab\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)???
Ta có a + b = 1 nên \(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2\)
Lại có \(a^2+b^2=a^2+\left(1-a\right)^2=2a^2-2a+1\)
\(2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Vậy nên \(a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)