Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b=x+y\Leftrightarrow-\left(a-x\right)=b-y;a-y=x-b\)
\(a^2+b^2=x^2+y^2\Leftrightarrow a^2-x^2+b^2-y^2=0\Leftrightarrow\left(a-x\right)\left(a+x\right)+\left(b-y\right)\left(b+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-x\right)\left(a+x\right)-\left(a-x\right)\left(b+y\right)=0\Leftrightarrow\left(a-x\right)\left(a+x-b-y\right)=0\)
TH1: a-x=0 <=>a=y mà a+b=x+y nên b=x =>a2010 = y2010; b2010 = x2010 =>a2010 + b2010 = x2010+ y2010
TH2: a+x-b-y=0 <=> a-y=b-x mà a-y=x-b => b-x=x-b <=>2b=2x <=> b=x <=> a=y
=>a2010 = y2010; b2010 = x2010 =>a2010 + b2010 = x2010+ y2010
Vậy...
1) Giải
xy + 2 = 2x + y
xy + 2 - 2x - y = 0
x ( y - 2 ) - ( y - 2 ) = 0
( y - 2 ).( x - 1 ) = 0
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=1\end{matrix}\right.\)
2) Giải:
Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(\Rightarrow\) \(a^2-c^2=d^2-b^2\)
\(\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(d-b\right)\left(d+b\right)\) (*)
Ta có: \(a+b=c+d\) (**)
\(\Rightarrow a-c=b-d\)
+) Nếu \(a-c=0\)
\(\Rightarrow a=c\) và \(b=d\)
Nên \(a^{2010}+b^{2010}=c^{2010}+d^{2010}\)
+) Nếu \(a-c\ne0\) và \(b-d\ne0\)
thì \(a\ne c\) và \(b\ne d\)
Khi đó (*) \(\Leftrightarrow\) \(a+c=b+d\) (***)
Cộng (**) và (***) theo vế:
2a + b + c = 2d + b + c
2a = 2d
a = d
Suy ra b = c
Do đó \(a^{2010}+b^{2010}=c^{2010}+d^{2010}\)
Bài 1 :
\(xy+2=2x+y\)
=> \(xy-y-\left(2x-2\right)=0\)
=> \(y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)
=> \(\left(y-2\right)\left(x-1\right)=0\)
=> \(\orbr{\begin{cases}y-2=0\\x-1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\x=1\end{cases}}}\)
=> \(\orbr{\begin{cases}y=2;x\in Z\\x=1;y\in Z\end{cases}}\)
\(x^6-1=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\\ \RightarrowĐPCM\)
\(2005^3+125=\left(2005+5\right)\left(2005^2+2005\cdot5+5^2\right)=2010\left(2005^2+2005\cdot5+5^2\right)⋮2010\)\(x^2+y^2+z^2+3=2\left(x+y+z\right)\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+x^2+3=2x+2y+2z\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=0\\ \left(x-1\right)^2\ge0;\left(y-1\right)^2\ge0;\left(z-1\right)^2\ge0\\ \Rightarrow\left(x-1\right)^2=\left(y-1\right)^2=\left(z-1\right)^2=0\\ \Rightarrow x-1=y-1=z-1=0\\ \Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(2005^3+125\)
\(=2005^3+5^3\)
\(=\left(2005+5\right)\left(2005^2-2005.5+5^2\right)\)
\(=2010\left(2005^2-2005.5+5^2\right)\)\(⋮\) 2010
Vậy \(2005^3+125\) chia hết cho 2010
\(a^{102}+b^{102}=\left(a^{101}+b^{101}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{100}+b^{100}\right)\)
Mà \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
Khi đó:
\(a^{102}+b^{102}=\left(a^{102}+b^{102}\right)\left(a+b-ab\right)\)
\(\Rightarrow a+b-ab=1\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a=1;b=1\)
\(\Rightarrow a^{2010}+b^{2010}=2\)
+ \(\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\left(x+y\right)\)
\(=x^{2012}+y^{2012}+xy\left(x^{2010}+y^{2010}\right)\)
\(=\left(x^{2011}+y^{2011}\right)+xy\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\)
\(=\left(xy+1\right)\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\)
+ Vì x, y dương nên \(x^{2011}+y^{2011}>0\)
=> x + y = xy + 1
=> x + y - xy - 1 = 0
=> ( y - 1 ) - x( y - 1 ) = 0
=> ( 1 - x ) ( y - 1 ) = 0
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
+ x = 1 => \(1+y^{2010}=1+y^{2011}=1+y^{2012}\)
\(\Rightarrow y^{2010}=y^{2011}\) \(\Rightarrow y^{2010}-y^{2011}=0\)
\(\Rightarrow y^{2010}\left(1-y\right)=0\)
\(\Rightarrow y=1\left(doy>0\right)\)
+ Tương tự nếu y = 1 ta cùng tìm được x = 1
Do đó : A = 2
Lời giải khác:
Ta có:
\(x^{2011}+y^{2011}=x^{2010}+y^{2010}\)
\(\Rightarrow x^{2011}-x^{2010}+y^{2011}-y^{2010}=0\)
\(\Leftrightarrow x^{2010}(x-1)+y^{2010}(y-1)=0(1)\)
Và: \(x^{2011}+y^{2011}=x^{2012}+y^{2012}\)
\(\Rightarrow x^{2012}-x^{2011}+y^{2012}-y^{2011}=0\)
\(\Leftrightarrow x^{2011}(x-1)+y^{2011}(y-1)=0(2)\)
Lấy (2)-(1) ta có:
\(x^{2011}(x-1)-x^{2010}(x-1)+y^{2011}(y-1)-y^{2010}(y-1)=0\)
\(\Leftrightarrow x^{2010}(x-1)^2+y^{2010}(y-1)^2=0\)
Dễ thấy \(x^{2010}(x-1)^2\geq 0; y^{2010}(y-1)^2\geq 0, \forall x,y>0\)
Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì \(x^{2010}(x-1)^2=y^{2010}(y-1)^2=0\)
Mà $x,y$ đều dương nên $x=y=1$
Khi đó ta dễ tính ra $A=2$
ta có : \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow C=\dfrac{a^{2010}+b^{2010}}{c^{2010}}+\dfrac{b^{2010}+c^{2010}}{a^{2010}}+\dfrac{c^{2010}+a^{2010}}{b^{2010}}=3\dfrac{a^{2010}+a^{2010}}{a^{2010}}\)
\(=3\dfrac{2a^{2010}}{a^{2010}}=3.2=6\)
Từ a+b=x+y(*)
=> a-x=y-b
Mặt khác : a^2+b^2=x^2+y^2
=> a^2-x^2=y^2-b^2
=>(a+x)(a-x)=(y-b)(y+b)
=>(a+x)(a-x)=(y+b)(a-x)
=> a-x =0 (**) hoặc a+x=b+y(***)
Với a +b=x+7 và a=x
=> b=y => a^2010+b^2010=x^2010+y^2010
Với a+b=x+y
và a+x=b+y =>a=y ; b=x => a^2010+b^2010=x^2010=y^2010
=> đpcm
Chúc bạn học tốt!!!!
bạn có bấm nhầm chỗ nào ko v