Question

[Trần Thị Thúy Thanh]

1. Cho 2 nguyên tố khác nhau: p,q. CMR:p^q-1 + q^p-1 -1 chia hết p x q

Answer 1

[Trà My]

p,q là các số nguyên tố khác nhau => (p;q)=1

Áp dụng định lí Fermat nhỏ có: \(p^{q-1}\equiv1\)(mod q). Mà \(q^{p-1}\equiv0\)(mod q) 

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1-0\equiv1\) (mod q) =>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\equiv1-1\equiv0\) (mod q) 

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho q (1)

Lại áp dụng định lí Fermat nhỏ có: \(q^{p-1}\equiv1\)(mod q). Mà \(q^{p-1}\equiv0\) (mod q)

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1-0\equiv1\)(mod q) =>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\equiv1-1\equiv0\) (mod q) 

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho q (2)

Từ (1),(2) và (p;q)=1 => \(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho pq (đpcm)

Answer 2

[Le Thi Khanh Huyen]

Bài này mà sử dụng đồng dư thì đơn giản kinh khủng :)

Đặt \(A=p^{q-1}+q^{p-1}-1\)

Vì p,q là các số nguyên tố khác nhau nên \(\left(p;q\right)=1\)

Áp dụng định lý Fecma nhỏ có \(p^{q-1}\text{≡}1\left(modq\right)\)

Mà \(q^{p-1}\text{≡}0\left(modq\right)\)

\(\Rightarrow p^{q-1}+q^{p-1}-1\text{≡}1+0-1\text{≡}0\left(modq\right)\)

\(\Rightarrow A\text{⋮}q\)

Tương tự, vẫn áp dụng định lý Fecma nhỏ có \(q^{p-1}\text{≡}1\left(modp\right)\)

Mà \(p^{q-1}\text{≡}0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow p^{q-1}+q^{p-1}-1\text{≡}0+1-1\text{≡}0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow A\text{⋮}p\)

Có \(A\text{⋮}p\)và \(A\text{⋮}q\); mà \(\left(p;q\right)=1\) nên \(A\text{⋮}p.q\)

Vậy ...

Bạn có thể hiểu thêm về định lý Fecma : nếu a , b nguyên tố cùng nhau thì \(a^{b-1}\text{≡}1\left(modb\right)\)cũng như \(b^{a-1}\text{≡}1\left(moda\right)\)