Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^3}+\frac{3}{5^4}+...+\frac{99}{5^{100}}\)
\(5A=\frac{1}{5}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...+\frac{99}{5^{99}}\)
Trừ dưới cho trên:
\(4A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{99}}-\frac{99}{5^{100}}\)
\(20A=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{98}}-\frac{99}{5^{99}}\)
Lại trừ dưới cho trên:
\(16A=1-\frac{100}{5^{99}}+\frac{99}{5^{100}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{16}-\frac{1}{16.5^{99}}\left(100-\frac{99}{5}\right)< \frac{1}{16}\) do \(100-\frac{99}{5}>0\)
a) \(A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{2019}}\)
\(5A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{2018}}\)
\(4A=5A-A=\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2019}}\)
\(A=\frac{1}{20}-\frac{1}{4.5^{2019}}< \frac{1}{20}< \frac{1}{2}\)
b) Đề có sai không mà đằng cuối lại là \(\frac{1}{4^2}\)lặp lại lần nữa.
c) \(C=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)
\(2C=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\)
\(3C=2C+C=1-\frac{1}{64}< 1\)
\(C< \frac{1}{3}\)
d) Xem lại đề nữa đi e, nếu trừ hai vế cho \(\frac{1}{3}\)thì vế trái > 0 > vế phải rồi
e) \(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}>\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\)(10 số hạng)
\(=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\)
Tương tự: \(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}>\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{70}>\frac{1}{7}\)
\(\frac{1}{71}+\frac{1}{72}+...+\frac{1}{80}>\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{80}>\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=\frac{533}{840}>\frac{490}{840}=\frac{7}{12}\)
Đặt \(P=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
Có \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
...........
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
=> \(P< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{99.100}\)
=> \(P< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
=> \(P< 1-\frac{1}{100}< 1\)
=> P < 1
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)(Đpcm)
Tta có
1/22 < 1/(1.2)= 1-1/2
1/32 <1/(2.3)=1/2-1/3
1/42 <1/(3.4)=1/3-1/4
......
1/1002 < 1/99-1/100
cộng vế với vế ta được 1/22 +1/32+...+1/1002< 1-1/2+1/2-1/3+....+1/99-1/100=1-1/100
=> ĐPCM
