Question

[Nguyễn Đình Vũ]

Ký hiệu S_(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n 

    Tìm n sao cho S_(n) = n² - 2013n + 6

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân,ta được:

\(n=a_m\cdot10^m+a_{m-1}\cdot10^{m-1}+....+a_1\cdot10+a_0\)với \(a_i\)là các chữ số,\(i=0,1,2,3,....,m\)và \(m\inℕ\)

\(\Rightarrow n\ge a_m+a_{m-1}+....+a_0\)

\(\Rightarrow n\ge S\left(n\right)\)

\(\Rightarrow n\ge n^2-2013n+6n\)

\(\Rightarrow n^2+6\le2014n\)

\(\Rightarrow n+\frac{6}{n}\le2014\)

\(\Rightarrow n< 2014\left(1\right)\)

Mà \(S\left(n\right)\ge0\)

\(\Rightarrow n^2-2013n+6\ge0\)

\(\Rightarrow n^2+6\ge2013n\)

\(\Rightarrow n+\frac{6}{n}\ge2013\)

\(\Rightarrow n\ge2013\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra n=2013

Thay vào bài toán,ta được:

\(S_{2013}=2013^2-2013\cdot2013+6\left(TM\right)\)

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013