Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Để pt \(x^2-2(m-1)x+m^2-2m=0\) có hai nghiệm thì:
\(\Delta'=(m-1)^2-(m^2-2m)>0\Leftrightarrow 1>0\) (luôn đúng với mọi m)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=m^2-2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m-1)^2-2(m^2-2m)\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=2m^2-4m+4\)
\(\Leftrightarrow 8=2m^2-4m+4\Leftrightarrow m^2-2m-2=0\)
\(\Leftrightarrow m=1\pm \sqrt{3}\)
\(\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{2}\Rightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=8\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=8\) (1)
Để (P) cắt Ox tại 2 điểm thì phương trình \(mx^2-2\left(m+1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow m\ne0\) và \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m\left(m+3\right)=1-m>0\Rightarrow m< 1;m\ne1\)
Theo Viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{m}\end{matrix}\right.\)
Thế vào (1):
\(\left(\dfrac{2m+2}{m}\right)^2-4\left(\dfrac{m+3}{m}\right)=8\Leftrightarrow2m^2+m-1=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Ghi nhầm điều kiện xíu, cuối dòng 3 là \(m\ne0\) nhé, mình gõ nhầm số 1 vào
a: Thay x=-1 và y=3 vào (d), ta được:
-2-m+1=3
=>-1-m=3
=>-m=4
hay m=-4
b: PTHĐGĐ là:
\(\dfrac{1}{2}x^2-2x+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+2m-2=0\)
\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\left(2m-2\right)\)
\(=16-8m+8=-8m+24\)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì -8m+24>0
hay m<3
Theo Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có: \(x_1\cdot x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)=-48\)
=>\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)\cdot\left[4^2-2\left(2m-2\right)\right]=-48\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(16-4m+4\right)=-24\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(-4m+20\right)=-24\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-5\right)=6\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3+\sqrt{10}\left(loại\right)\\m=3-\sqrt{10}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta'>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m< 1\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{m}\end{matrix}\right.\)
\(x_1^3+x_2^3-2\left(x_1+x_2\right)=0\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right)-2\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2-2\right)=0\)
TH1: \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m+1\right)}{m}=0\Rightarrow m=-1\)
TH2: \(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2-2=0\Leftrightarrow\left(\dfrac{2m+2}{m}\right)^2-\dfrac{3m+9}{m}-2=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\\m=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)
a/ \(\Delta'=1-m\ge0\Rightarrow m\le1\)
Để biểu thức xác định \(\Rightarrow f\left(0\right)\ne0\Rightarrow m\ne0\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Mặt khác do \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2x_1+m=0\\x_2^2-2x_1+m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-3x_1+m=-x_1\\x_2^2-3x_2+m=-x_2\end{matrix}\right.\)
Thay vào ta được:
\(-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}\le2\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2}{x_1x_2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{m}\ge0\Rightarrow m>0\)
Vậy \(0< m\le1\)
b/ \(\Delta'=m^2-m-2\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)
\(x_1^3+x_2^3\le16\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-16\le0\)
\(\Leftrightarrow8m^3-6m\left(m+2\right)-16\le0\)
\(\Leftrightarrow4m^3-3m^2-6m-8\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(4m^2+5m+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow m\le2\) (do \(4m^2+5m+4=4\left(m+\frac{5}{8}\right)^2+\frac{39}{16}>0;\forall m\))
Kết hợp ta được \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m\le-1\end{matrix}\right.\)