Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(a=3+x\) , \(b=3+y\) (\(x,y\ge0\)) thì \(a+b=\left(x+y\right)+6\)
Ta có : \(a^2+b^2\ge25\Leftrightarrow\left(3+x\right)^2+\left(3+y\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+6\left(x+y\right)+18\ge25\)
Ta sẽ chứng minh \(x+y\ge1\) . Thật vậy , giả sử \(0\le x+y< 1\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2< 1\Rightarrow x^2+y^2< 1\)
Do đó : \(a^2+b^2=\left(x^2+y^2\right)+6\left(x+y\right)+18< 1+6+18=25\) trái với giả thiết.
Vậy \(x+y\ge1\) \(\Rightarrow a+b\ge7\) (đpcm)
\(\)\(=>a^5+b^5+c^5-3\ge0\)
\(< =>a^5+b^5+c^5-\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge0\)
\(>=>a^2.a^3-a^3+b^2.b^3-b^3+c^2.c^3-c^3\ge0\)
\(< =>a^2\left(a^3-1\right)+b^2\left(b^3-1\right)+c^2\left(c^3-1\right)\ge0\)(luôn đúng)
vì \(a^2\left(a^3-1\right)\ge0;b^2\left(b^3-1\right)\ge0;c^2\left(c^3-1\right)\ge0\)
Vậy \(Vt\ge3\)(đpcm)
\(\)
\(\)
Sửa đề: Chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Cách 1: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có đpcm.
Cách 2:BĐT \(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (đúng)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c
giả sử \(a+b< 7\Leftrightarrow a< 7-b\)
có: \(\left(7-b\right)^2+b^2>a^2+b^2\ge25\)
\(\Leftrightarrow b^2-7b+12>0\Leftrightarrow\left(b-3\right)\left(b-4\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b< 3\\b>4\end{matrix}\right.\)
trường hợp b<3 hiển nhiên trái với giả thiết.
ta xét b > 4.
Lại có: \(a+4< a+b< 7\)( điều giả sử)
\(\Leftrightarrow a< 3\)( vô lý )
Vậy điều giả sử sai , ngược lại \(a+b\ge7\) đúng
Đoạn \(\left(7-b\right)^2+b^2>a^2+b^2\ge25\Leftrightarrow b^2-7b+12>0\) làm sao ra đc vậy?