Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng tồn tại một cặp số duy nhất (x, y) thỏa mãn phương trình:
\(x^2-4x+y-6\sqrt{y}+13=0\)
Đề bài sai
Chỉ tồn tại duy nhất cặp x;y thỏa mãn pt khi đề bài là:
\(x^2-4x+y-6\sqrt{y}+13=0\)
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(y-6\sqrt{y}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\\sqrt{y}-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=9\end{matrix}\right.\)
Vậy có duy nhất cặp số (x;y)=(2;9) thỏa mãn phương trình
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(\sqrt{x}+4=m\sqrt{x}+5m\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\sqrt{x}=4-5m\)
- Với \(m=1\) không tồn tại x
- Với \(m\ne1\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4-5m}{m-1}\)
Do \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\dfrac{4-5m}{m-1}\ge0\Rightarrow\dfrac{4}{5}\le m< 1\)
\(y\ge0\)
\(y^2=x^2-2x+2\)
\(\Leftrightarrow y^2=\left(x-1\right)^2+1\)
\(\Leftrightarrow y^2-\left(x-1\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x+1\right)\left(y+x-1\right)=1\)
Pt ước số, bạn tự lập bảng
\(pt\Leftrightarrow x+2\sqrt{3}=x+y+2\sqrt{xy}\)
Vì x, y nguyên nên x và x+y nguyên, mà 2 căn 3 là số vô tỉ nên 2 căn xy cũng phải là số vô tỉ
=> 2 căn 3 = 2 căn xy <=> 3 = xy (*)
Ta cũng có x = x+y => y = 0, không thỏa mãn (*)
Vậy pt không có nghiệm nguyên
\(\Leftrightarrow y^2=x^2+4x+5\left(y\ge0\right)\\ \Leftrightarrow y^2-\left(x+2\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\left(y-x-2\right)\left(y+x+2\right)=1\)
Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow\left(y-x-2\right)\left(y+x+2\right)=1\cdot1=\left(-1\right)\left(-1\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}y-x-2=1\\y+x+2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=3\\y+x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}y-x-2=-1\\y+x+2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=1\\y+x=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\left(ktm\right)\)
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-2;1\right)\)
a) Cách 1:
\(pt\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge0\\y^2=\left(x+2\right)^2+1\text{ (1)}\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[y+x+2\right]\left[y-\left(x+2\right)\right]=1\)
\(\Leftrightarrow\left(y+x+2\right)\left(y-x-2\right)=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+x+2=1\\y-x-2=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y+x+2=-1\\y-x-2=-1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)(nhận) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}}\)(loại)
Cách 2: Để y nguyên thì biểu thức trong căn phải là một số chính phương
\(A=x^2+4x+5=\left(x+2\right)^2+1=t^2+1\)
+Với \(t=0\) thì \(A=1=1^2\), là một số chính phương --> thỏa
+Với \(t>0\), ta có: \(t^2< t^2+1< \left(t+1\right)^2\)(chứng minh bằng biến đổi tương đương)
A là một số nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên A ko thể là số chính phương --> loại
+Với \(t< 0\) thì \(t^2< t^2+1< \left(t-1\right)^2\)(chứng minh bằng biến đổi tương đương)
A là một số nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên A ko thể là số chính phương --> loại
Vậy t chỉ có thể bằng 0;
\(t=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=0\\y=\sqrt{0^2+1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)
a/ y2 = (x2 +2)2 +1 <=> (y-x2 -2)(y+x2 +2)=1 vì x,y nguyên nên 2 đa thức ở vế trái cùng bằng 1 hoặc -1
Lời giải:
ĐK: $x,y\geq 0$
Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)
Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.
$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$
$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.
Lời giải:
ĐK: $x,y\geq 0$
Bình phương 2 vế thu được:
\(x+y+2\sqrt{xy}=2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{xy}=2-x-y\in\mathbb{Z}\)
Nếu $\sqrt{xy}\not\in\mathbb{Z}$ thì $xy\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý). Do đó $\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2-x-y=2\sqrt{xy}$ là 1 số nguyên chẵn.
$\Rightarrow x+y$ chẵn. Mà $x+y=2-2\sqrt{xy}\leq 2; x+y\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$ nên $x+y=0$
$\Rightarrow x=y=0$ (do $x,y\geq 0$). Thử lại thấy không đúng.
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.