Question

[le phan anh]

tìm số nguyên x,y thỏa mãn :

a.\(y=\sqrt{x^2+4x+5}\)

b. \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy\)

Answer 1

[Mr Lazy]

a) Cách 1:

\(pt\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge0\\y^2=\left(x+2\right)^2+1\text{ (1)}\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[y+x+2\right]\left[y-\left(x+2\right)\right]=1\)

\(\Leftrightarrow\left(y+x+2\right)\left(y-x-2\right)=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+x+2=1\\y-x-2=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y+x+2=-1\\y-x-2=-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)(nhận) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}}\)(loại)

Cách 2: Để y nguyên thì biểu thức trong căn phải là một số chính phương

\(A=x^2+4x+5=\left(x+2\right)^2+1=t^2+1\)

+Với \(t=0\) thì \(A=1=1^2\), là một số chính phương --> thỏa

+Với \(t>0\), ta có: \(t^2< t^2+1< \left(t+1\right)^2\)(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

A là một số nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên A ko thể là số chính phương --> loại

+Với \(t< 0\) thì \(t^2< t^2+1< \left(t-1\right)^2\)(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

A là một số nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên A ko thể là số chính phương --> loại

Vậy t chỉ có thể bằng 0;

\(t=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=0\\y=\sqrt{0^2+1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)

Answer 2

[alibaba nguyễn]

a/ y² = (x² +2)² +1 <=> (y-x² -2)(y+x² +2)=1 vì x,y nguyên nên 2 đa thức ở vế trái cùng bằng 1 hoặc -1