K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CN
1
NN
2 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}}\)
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\le\frac{a^2+1+b^2+1}{2}=\frac{a^2+b^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2}\left(1\right)\)
Ta thấy: \(\frac{4}{a^2+b^2+2}=1-\frac{a^2+b^2-2}{a^2+b^2+2}\left(2\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2+2\ge2ab+2=2\left(ab+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+2}\le\frac{1}{2\left(ab+1\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{a^2+b^2+2}\ge\frac{-1}{2\left(ab+1\right)}\)
Mà \(a^2+b^2-2\ge2\left(ab-1\right)\)
\(\Rightarrow1-\frac{a^2+b^2-2}{a^2+b^2+2}\ge1-\frac{2\left(ab-1\right)}{2\left(ab+1\right)}\)
\(=1-\frac{ab-1}{ab+1}=\frac{ab+1-ab+1}{ab+1}=\frac{2}{ab+1}\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\) (Đpcm)
SE
0
25 tháng 3 2019
1,\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2\left(b-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=1\)
T
26 tháng 3 2019
2/Bổ sung đk a,b >= 0 (nếu a,b < 0,cho a=b=-2 suy ra a^3 + b^3 + 1 -3ab = -27 < 0)
Ta chứng minh BĐT \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\) (đúng)
Áp dụng vào,suy ra: \(a^3+b^3+1^3-3ab\ge3ab-3ab=0\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
T
23 tháng 3 2019
\(VT=\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2ab}=4+\frac{1}{2ab}\)
Ta có: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) (BĐT AM-GM or CÔ si gì đó)
\(VT\ge4+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=4+2=6^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2ab\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Bạn có thể quy đồng lên hoặc sử dụng Bất Đẳng Thức Cosi nha :)
tự đang tự trả lời súc vật hiếu :)