Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta'_1=b^2-ac\) ; \(\Delta'_2=c^2-ab\); \(\Delta'_3=a^2-bc\)
\(T=\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(T=\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(T=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Luôn phải có ít nhất một trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm hay ít nhất một trong 3 pt có nghiệm
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\)
Vì \(a+b\ge2\) nên \(\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\ge0\)
=> \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)
=> Trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) có ít nhất 1 số không âm
=> Trong hai phương trình: \(\left(x^2+2ax+b\right);\left(x^2+2bx+a\right)\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
=> \(\left(x^2+2ax+b\right)\left(x^2+2bx+a\right)\) luôn có nghiệm
Trình bày khác cô Chi chút ạ =))
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-a+b^2-b+2-a-b\)
\(=a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Khi đó ít nhất một trong \(\Delta_1;\Delta_2\) có nghiệm => đpcm
nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình ,chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
\(x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b=0\)
đặt \(m=x+\frac{1}{x}\),phương trình trở thành \(m^2-2+am+b=0\Leftrightarrow m^2-2=-am-b\Leftrightarrow\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\)
Áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky :\(\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\le\left(m^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(m^2-2\right)^2}{m^2+1}=\frac{m^4-4m^2+4}{m^2+1}=m^2-5+\frac{9}{m^2+1}\)
\(=m^2+1+\frac{25}{m^2+1}-\frac{16}{m^2+1}-6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(m^2+1+\frac{25}{m^2+1}\ge10\)
\(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{m^2+1}\)
lại có \(m^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)(AM-GM)
nên \(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}\)
đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-\frac{4}{5}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}}\)
Nếu \(x_o\)là nghiệm của phương trình đã cho thì \(x_o\ne0\)và
\(x_o^4+ax_o^3+bx_o^2+ax_o+1=0\)
Chia 2 vế cho \(x_o^2\), ta được :
\(\left(x_o^2+\frac{1}{x_o^2}\right)+a\left(x_o+\frac{1}{x_o}\right)+b=0\)(I)
Đặt \(t=x_o+\frac{1}{x_o}\); \(\left|t\right|=\left|x_o+\frac{1}{x_o}\right|=\left|x_o\right|+\left|\frac{1}{x_o}\right|\ge2\)
Từ (I) , => \(t^2+at+b-2=0\Rightarrow t^2=-at-b+2\)
Áp dụng BĐT B.C.S ta được :
\(t^4=\left[at+\left(b-2\right)\right]^2\le\left[a^2+\left(b-2\right)^2\right]\left(t^2+1\right)\)
\(\Rightarrow a^2+\left(b-2\right)^2\ge\frac{t^4}{t^2+1}\)
Mà \(\frac{t^4}{t^2+1}\ge\frac{t^4}{t^2+\frac{t^2}{4}}=\frac{4t^4}{5t^2}=\frac{4}{5}t^2\ge\frac{16}{5}\left(\text{vì}:t^2\ge4\right)\)
Vậy ......
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web
