Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ad.ab< bc.ab\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)(1)
và \(ad< bc\Rightarrow ad.cd< bc.cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ab+ad< ab+bc\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)
\(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow\left(a+c\right)d< \left(b+d\right)c\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\)
\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\)
\(\Leftrightarrow ad+cd< bc+cd\)
\(\Leftrightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\left(1\right)\)
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(vì\frac{a}{a+b+c}< 1\right)\)
tương tự
\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{2.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\left(2\right)\)
từ (1) và (2) => đpcm
Ta co
\(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\)
=> ad<bc
=> ad+ab<bc+ab
=> a.(b+d)< b.(a+c)
=> \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\) (1)
Lại có ad<bc
=> ad+cd<bc+cd
=> d.(a+c)<c.(b+d)
=> \(\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\) (2)
Tu (1) va (2) => \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)
ta có:a/b <c/d =>ad<bc (1)
thêm ab vào 2 vế của (1) ta có:
ad+ab<bc+ab hay a(b+d) <b(a+c) suy ra a/b <a+c/b+d (2)
thêm cd vào 2 vế của (1),ta lại có:
ad+cd<bc+cd hay d(a+c)<c(b+d) suy ra c/d >a+c/b+d (3)
từ (1),(2) và (3) ta suy ra a/b<a+c/b+d<c+d