Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Xét \(a^4+b^4-(ab^3+a^3b)=(a-b)(a^3-b^3)\)
\(=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\forall a,b> 0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\geq ab^3+a^3b\)
\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a^3+b^3)(a+b)\)
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^3+b^3)(a+b)}{2ab(a^3+b^3)}=\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Áp dụng BĐT Cô si, ta có :
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
\(b^4+c^4\ge2b^2c^2\)
\(c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4\ge2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)( 1 )
Ta lại có :
\(a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\)
\(b^2c^2+c^2a^2\ge2bc^2a\)
\(c^2a^2+a^2b^2\ge2ca^2b\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab^2c+bc^2a+ca^2b=abc\left(a+b+c\right)\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\forall a;b;c\)( Đpcm )
Ta có \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\forall a;b;c>0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-a^2bc-b^2ac-c^2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4-2a^2bc-2b^2ac-2c^2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2b^2+\left(b^2-c^2\right)^2+2b^2c^2+\left(c^2-a^2\right)^2-2a^2c^2-2b^2ac-2c^2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2-\left(c^2-a^2\right)^2+\left(a^2b^2+b^2c^2-2b^2ac\right)\)\(+\left(b^2c^2+c^2a^2-2c^2ab\right)+\left(a^2b^2+c^2a^2-2a^2bc\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2+\left(ab-ac\right)^2\ge0\)
Luôn đúng với mọi a,b,c
a ) CM : \(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
Giả sử điều cần c/m là đúng
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-b^3a\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+a^3b+b^4+b^3a\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\left(đpcm\right)\)
b ) \(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(=a^4+a^3b+a^3c+b^3a+b^4+b^3c+c^3a+c^3b+c^4\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)+\left(a^3b+b^3a\right)+\left(b^3c+c^3b\right)+\left(a^3c+c^3a\right)\)
CMTT như a ) : \(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\\b^4+c^4\ge b^3c+c^3b\\a^4+c^4\ge a^3c+c^3a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^3b+b^3a+b^3c+c^3b+a^3c+c^3a\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(đpcm\right)\)
BĐT tương đương với :
\(3a^4+3b^4+3c^4-\left(a^4+a^3b+a^3c+b^4+ab^3+b^3c+ac^3+bc^3+c^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)+\left(b^4+c^4-b^3c-bc^3\right)+\left(a^4+c^4-a^3c-ac^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(a-c\right)^2\left(a^2+ac+c^2\right)\ge0\)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+b^3c+c^3a\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4-ab^3-bc^3-ca^3-a^3b-b^3c-c^3a\ge0\)
Theo AM - GM ta dễ có:
\(a^4+a^4+a^4+b^4\ge4\sqrt[4]{a^{12}b^4}=4a^3b\)
\(b^4+b^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{b^{12}c^4}=4b^3c\)
\(c^4+c^4+c^4+a^4\ge4\sqrt[4]{c^{12}a^4}=4c^3a\)
Cộng vế theo vế ta có đpcm
(a+b+c)(a3+b3+c3)
=a4+a3b+a3c+ab3+b4+b3c+ac3+bc3+c4
=a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(bc3+b3c)+(c3a+ca3)
=a4+b4+c4+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
=(a4+b4+c4)+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
P/s đến đây bạn áp đụng bđt thức bunhi a là ra
(a+b+c) (a3+b3+c3)
=a4+a3b+a3c+ab3+b4+b3c+ac3+bc3+c4
=a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(bc3+b3c)+(c3a+ca3)
=a4+b4+c4+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
=(a4+b4+c4)+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab.bc+bc.ca+ca.ab=abc\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)