K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
1 tháng 3 2017
Trước tiên ta chứng minh:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}\le\frac{1}{1+xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{1+yz\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+zx\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz}{xyz+xy\left(x+y\right)}+\frac{xyz}{xyz+yz\left(y+z\right)}+\frac{xyz}{xyz+zx\left(z+x\right)}=\frac{z}{z+x+y}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+x}=1\)
11 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cauchy - shwart dạng Engel ta có:
VT= (1+1+1)^2 / [2(x^3 + y^3 + z^3) +3]
=9/[2(x^3 + y^3 + z^3) +3]
mà x^3 + y^3 + z^3 >= 3abc = 3 (BĐT AM-GM)
=> VT>=9/9=1 (dpcm)
HB
1
2 tháng 1 2016
\(N=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+....+\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-....-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)
=> ĐPCM
AS
1
TN
23 tháng 5 2017
Ta có: \(\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1\)
\(=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}a-1\ge\frac{3}{4}a-1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\left(b-1\right)^3\ge\frac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\frac{3}{4}c-1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\frac{3}{4}\cdot3-3=-\frac{3}{4}\)
TN
29 tháng 3 2017
Quy đồng BĐT ban đầu ta được BĐT cần chứng minh là
\(a^2+b^2+c^2+3\ge3a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)-3a^2b^2c^2\ge12\)
Đây là hàm bậc 2 theo \(abc\) có hệ số \(A< 0\), mà \(abc\in\left[0;\frac{a+b+c}{3}\right]\) nên GTNN đạt được khi \(abc=0\) hoặc \(abc=\frac{a+b+c}{3}\)
*)Xét \(abc=0\). Giả sử \(c=0\) thì \(ab=3\) và \(VT=\left(a+b\right)^2\ge4ab=12\)
*)Xét \(abc=\frac{a+b+c}{3}\) thì:
\(VT=\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(ab+bc+ca\right)=12\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\) hoặc \(a=b=\sqrt{3};c=0\) và các hoán vị
18 tháng 9 2016
a/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh.
Dễ thấy \(2-2=3-3\) vì chúng cùng bằng 0.
Nên \(2\left(1-1\right)=3\left(1-1\right)\Leftrightarrow2=3\)
Mà 1 + 1 = 2 nên 1 + 1 = 3 (đpcm)
Vì bạn bắt chứng minh một điều vô lí nên tớ dùng điều vô lí để chứng minh nó thôi... và một bản report.
??? ảo