Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}\ge\dfrac{y^3}{\dfrac{y^2+1-y^2}{2}}=2y^3\)
\(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}\ge\dfrac{z^3}{\dfrac{z^2+1-z^2}{2}}=2z^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm ta có:
\(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}\)
\(y\sqrt{1-z^2}\le\frac{y^2+1-z^2}{2}\)
\(z\sqrt{1-x^2}\le\frac{z^2+1-x^2}{2}\)
=>\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+1-z^2}{2}+\frac{z^2+1-x^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=1-y^2;y^2=1-z^2;z^2=1-x^2\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức với nhau ta được: \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x^2=3-\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
<=>\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)(đpcm)
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}=6-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}-\dfrac{1}{\sqrt{z-3}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\right)+\left(\sqrt{y-2}+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}\right)+\left(\sqrt{z-3}+\dfrac{1}{\sqrt{z-3}}\right)=6\)Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
\(\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\ge2\sqrt{\sqrt{x-1}.\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}}=2\)
Tương tự :\(\sqrt{y-2}+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}\ge2\)
\(\sqrt{z-3}+\dfrac{1}{\sqrt{z-3}}\ge2\)
Do đó :\(\left(\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\right)+\left(\sqrt{y-2}+\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}\right)+\left(\sqrt{z-3}+\dfrac{1}{\sqrt{z-3}}\right)\ge6\)Dấu "=+ xảy ra khi :\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\\\sqrt{y-2}=\dfrac{1}{\sqrt{y-2}}\\\sqrt{z-3}=\dfrac{1}{\sqrt{z-3}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y-2=1\\z-3=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\\z=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x=2,y=3,z=4\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+y-2\sqrt{y-1}+z-2\sqrt{z-2}=0\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2-2\sqrt{z-2}+1=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\\\sqrt{z-2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y-1=1\\z-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)Vậy x=1;y=2;z=3
\(\dfrac{\sqrt{1\left(x-1\right)}}{x}\le\dfrac{1+x-1}{2x}=\dfrac{1}{2}\) ( cauchy )
TT,\(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}};\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
cộng vế theo vế => đpcm
Thì biết pass facebook thôi chứ cũng không biết có hack không
Bạn ấy đăng nhập bằng FACEBOOK mà