Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(1.a+\sqrt{3}.\sqrt{3}b\right)^2\le\left(1+3\right)\left(a^2+3b^2\right)\Rightarrow\sqrt{a^2+3b^2}\ge\frac{a+3b}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+3b}{2}+\frac{b+3c}{2}+\frac{c+3a}{2}=2\left(a+b+c\right)=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Bài 2:
Ta có: \(a,b>0\) nên: \(\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Lại có: \(\frac{x^3+8y^3}{x^3}=\left(1+\frac{2y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)\) \(\le\frac{\left(2x^2+4y^2\right)^2}{4x^4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}\)
Tương tự như trên ta có được: \(\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) nên:
\(\Rightarrow2y^2+\left(x+y\right)^2\le2x^2+4y^2\)
\(\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow Min_P=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y^2\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+2y^2\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y\)
Thầy Nguyễn Việt Lâm ơi! Em nghị giờ đi theo con đường là chỉ cần cm đc
2ab(a+b) + 2bc(b+c) + 2ac(a+c) bé thua hoặc bằng 4c^3 + (a+b)^3
Rồi sử dụng cái tích chất bắc cầu k biết có đc không nữa.
Đơn giản là phân tích bình phương thôi, để loại căn cho dễ nhìn, đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\left(x^2+y^2\right)^3+4z^6\ge4x^3y^3+4y^3z^3+4z^3x^3\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4+4z^6-4x^3y^3-4y^3z^3-4z^3x^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^6+y^6+4z^6+2x^3y^3-4z^3x^3-4y^3z^3\right)+3\left(x^4y^2-2x^3y^3+x^2y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3-2z^3\right)^2+3\left(x^2y-xy^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Bài 1, t nghĩ VP căn phải kéo dài hết
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\le\left(a+d\right)\left(b+c\right)\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\left(ĐPCM\right)\)
Bài 2, Áp dụng bài 1, ta có
\(\left(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\right)\le\left(a^2+b^2\right)\left[3a\left(a+2b\right)+3b\left(b+2a\right)\right]\)
\(\le2\left(3a^2+6ab+3b^2+6ab\right)=2\left[3\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\le2\left(6+12ab\right)\)
Áp dụng bđt cô si, ta có
\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2\ge2ab\Rightarrow12\ge12ab\)
=>(...)^2<=36 => ...<=6 (ĐPcM)
dấu = xảy ra <=> a=b=1
^_^
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
Muốn tran gia nhat tien
??????????????????????????????????????????