Question

[Nguyễn Khắc Quang]

Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên bất kì chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6 

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Xét \(a^3+b^3-\left(a+b\right)=a^3-a+b^3-b=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)=\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)

(a-1)a(a+1) và (b-1)b(b+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp mà tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6

CM:

+ 3 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2

+ Nếu \(a⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)

+ Nếu a chia 3 dư 1\(\Rightarrow\left(a-1\right)⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)

+ Nếu a chia 3 dư 2\(\Rightarrow\left(a+1\right)⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)

=> (a-1)a(a+1) đồng thời chia hết cho 2 và 3 nên nó chia hết cho 2.3=6 với mọi a

Từ kết quả chứng minh trên

\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\) và \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow a^3+b^3-\left(a+b\right)⋮6\)

Mà \(a^3+b^3⋮6\Rightarrow\left(a+b\right)⋮6\)