Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có \(a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\Rightarrow2ab+a+b=a+b+ab+1\)
=> ab=1
b) Ta có \(2\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+b\right)\left(a+b+2\right)\Leftrightarrow2ab+2a+2b+2=a^2+ab+2a+b^2+ab+2b\)
=> a^2+b^2=2
^_^
1a)Xét a2 + 5 - 4a =a2 - 4a + 4+1=(a - 2)2+1\(\ge\)1 hay (a -2)2 + 1 > 0
\(\Rightarrow\)Đpcm
b)Xét 3(a2 + b2 + c2) -(a + b +c)2 =3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2\(\ge\)0 (với mọi a,b,c)
\(\Rightarrow\)Đpcm
2)Xét A=\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+c+b\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
áp dụng cô-sy
\(\Rightarrow\)A\(\ge\)9
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)
\(a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+a+ab+b=ab+a+b+1\Leftrightarrow ab=1\left(dpcm\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
úi xin lỗi bài kia thiếu ._. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2 nhé
2. Ta có : a3 + b3 + ab = ( a + b )( a2 - ab + b2 ) + ab
= a2 - ab + b2 + ac = a2 + b2 ( do a+b=1 )
Sử dụng kết quả ở bài trước ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.
(1/a + 1/b + 1/c)² = 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(1/ab + 1/bc + 1/ac) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(bcac + abac + abbc)/(a²b²c²) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2abc(a + b + c)/(a²b²c²) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2 = 4
(vi` abc(a + b + c) = a² b² c²)
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² = 2 !!
\(\frac{1}{a\left(a+1\right)}-\frac{1}{\left(a+1\right)\left(a+2\right)}=\frac{a+2}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}-\frac{a}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}=\frac{2}{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}\)
=>đpcm