Question

[Pham Hong Quan]

cho x,y,z\(\in\)N*

CMR1 bé hơn \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)bé hơn 2

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$

Lại có:

Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$

$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$

Cộng theo vế ta được:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$

Lại có:

Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$

Hoàn toàn tương tự ta có:

$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$

$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$

Cộng theo vế ta được:

$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$

Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.