Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(P^2=(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y})^2\leq (1+2x+1+2y)(1+1)=4(x+y+1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P^2\leq 4(x+y+1)\leq 4(\sqrt{2}+1)\)
\(\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}\)
Vậy \(P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
Tìm min:
Vì \(x^2+y^2=1\Rightarrow x^2\leq 1; y^2\leq 1\Rightarrow x,y\leq 1\). Kết hợp với \(x,y\geq 0\)
\(\Rightarrow 0\leq x,y\leq 1\Rightarrow x^2\leq x; y^2\leq y\Rightarrow x^2+y^2\leq x+y\)
Do đó:
\(P^2=2+2(x+y)+2\sqrt{(1+2x)(1+2y)}\)
\(=2+2(x+y)+2\sqrt{1+2(x+y)+4xy}\geq 2+2(x^2+y^2)+2\sqrt{1+2(x^2+y^2)}=4+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\geq \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1\)
Vậy \(P_{\min}=\sqrt{3}+1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1+2x, 1+2y) và (1,1) ta có:
\(P^2\le\left[\left(\sqrt{1+2x}\right)^2+\left(\sqrt{1+2y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)=2\left(2x+2y+1\right)\le2\left(x^2+1+y^2+1+1\right)=2.4=8\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{8}\)
Vậy GTLN của P là \(\sqrt{8}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+2y}\\x,y>0\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
vào link này nhé
https://h.vn/hoi-dap/question/519160.html?pos=1454413
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái