Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\)ta có \(xy+yz+zx=-1\)và bất đẳng thức đã cho trở thành:
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Mình giải thế này có đúng ko?
\(\frac{x\left(y-x\right)}{y\left(y-x\right)}\)= \(\frac{x}{y}\)
Theo đầu bài ta có:
\(\hept{\begin{cases}A=x^2yz=xyz\cdot x\\B=xy^2z=xyz\cdot y\\C=xyz^2=xyz\cdot z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A+B+C=xyz\cdot x+xyz\cdot y+xyz\cdot z\)
\(\Rightarrow A+B+C=xyz\left(x+y+z\right)\)
Mà \(x+y+z=1\Rightarrow A+B+C=xyz\) ( đpcm )
Ta có
\(\hept{\begin{cases}A=x^2yz=xyz.x\\B=xy^2z=xyz.y\\C=xyz^2=xyz.z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A+B+C=xyz.x+xyz.y+xyz.z\)
\(\Rightarrow A+B+C=xyz.\left(x+y+z\right)\)
Mà \(x+y+z=1\Rightarrow A+B+C=xyz\)
x+y = 2 => y = 2- x
=> x.y = x.(2 - x) = - x2 + 2x
Xét x.y - 1 = - x2 + 2x - 1 = (-x2 + x) + (x - 1) = - x.(x - 1) + (x - 1) = (x - 1).(-x + 1) = -(x-1).(x-1) = -(x-1)2 \(\le\) 0 với mọi x
=> xy - 1 \(\le\) 0 <=> x.y \(\le\) 1
\(xy=\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xy}{2}>\dfrac{2y}{2}+\dfrac{2x}{2}=x+y\)
áp dụng hệ quả bđt côsi xy≤ (x+y\2)2 =(2\2)2=1
⇒2+xy\2−xy ≤2+1\2−1 = 3
dấu =xảy ra khi x=y=1